vault backup: 2025-01-16 13:17:53

פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md

@@ -30,66 +30,71 @@ Q = T
 !!! is-info "הגדרה"
 	**מודל קריפקה** הוא רביעיה סדורה:
 	
-		Μ = <W, @, v, R>
-		
-	 (הוספנו `R`) כאשר:
+	$Μ = <W, @, v, R>$
 	
-	W - קבוצה של עולמות אפשריים
+	 (הוספנו $R$) כאשר:
 	
-	@ ∈ W - העולם הממשי
+	$W$ - קבוצה של עולמות אפשריים
 	
-	R - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים:
+	$@ \in W$ - העולם הממשי
 	
-		wRw 
+	$R$ - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים:
 	
-	 משמע W נגיש ל W
+	$WRw$ 
+	
+	 משמע $W$ נגיש ל $w$
 
-	V - פונקציית הערכה. 
+	$V$ - פונקציית הערכה. 
 	
-	v(w,P) - הערך של P בעולם W.
+	$v(w,P)$ - הערך של P בעולם $w$.
 	
-	v(W, ~A), v(W, A-> B) - כמו במודלי קארנפ
+	$v(W, \not A)$, $v(W, A \to B)$ - כמו במודלי קארנפ
 	
-		 v(w,□A) = T אם לכל w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T
+	 $v(w, \Box A) = T$ אם לכל $w \in W$ כך ש $wRw$: $v(w,A) = T$
 	 
-		  v(w,◇A) = T אם יש w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T
+	  $v(w,\Diamond A) = T$ אם יש $w \in W$ כך ש $wRw$: $v(w,A) = T$
 
 
-לכל מודל קריפקה M: 
-`M ⊨ □ (A -> B) -> (□A -> □B)` (אקסיומה K)
+לכל מודל קריפקה $M$: 
+$M \models \Box (A \to B) \to (\Box A \to \Box B)$ (אקסיומה K)
 כלומר,
 
-`v(@,K) = T`
+$v(@,K) = T$
 
 הוכחה: 
 
-נניח בשלילה שיש מודל M כך ש `Μ ⊭ Κ`
+נניח בשלילה שיש מודל $M$ כך ש $Μ \nvDash Κ$
 
 כלומר, 
-`v(@,K) = F`
+$v(@,K) = F$
 
 לכן, 
 
-```
+$$
 v(@, □(Α -> Β)) = Τ
 v(@, □Α -> □Β) = F
-``` 
+$$
 
-1. נתון `v(@, □( Α -> Β)) = Τ` ולכן לכל `w∈ W` כך ש `@Rw`
-	
-	`v(w, A-> B) = T` 
-	כלומר, בעולם @, A הכרחי
 
-2. נתון  `v(w, □A) = T` ולכן לכל `w∈ W` כך ש  `@Rw`:
+1. נתון $v(@, □( Α -> Β)) = Τ$ ולכן לכל $w \in W$ כך ש $@Rw$
 	
-	`v(w, B) = T`
+	$$v(w, A-> B) = T$$
+	כלומר, בעולם $@$, $A$ הכרחי
+
+2. נתון  $v(w, □A) = T$ ולכן לכל $w \in W$ כך ש  $@Rw$:
 	
-	כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי
+	$$v(w, B) = T$$
+	
+	כלומר, בעולם $@$, בהכרח $B$ שקרי
 
 
 מ1 ו2 נובע:
 
-`v(@, □B) = T`
+
+$$
+v(@, □B) = T
+$$
+
 **בסתירה להנחה**.
 
 ## יחסי נגישות 
@@ -98,29 +103,32 @@ v(@, □Α -> □Β) = F
 
 - **רפלקסיביים** - כל עולם יכול לגשת לעצמו.
 
-		∀w∈W,wRw
-כלומר, אם `□Α`, אז A אמיתי בעולם הממשי.
+$$\forall w \in W,\ wRw$$
+
+כלומר, אם $\Box Α$, אז $A$ אמיתי בעולם הממשי.
 
 
-- **טרנזיטיביים** - אם `w1` יכול לראות את `w2` ו`w2` יכול לראות את `w3`  אזי `w1`  יכול לראות את `w3` 
+- **טרנזיטיביים** - אם  $w1$ יכול לראות את $w2$ ו$w2$ יכול לראות את $w3$  אזי $w1$  יכול לראות את $w3$ 
 
-		∀w1​, w2​, w3​∈W ,(w1​Rw2​ ∧ w2​Rw3​) -> w1​Rw3​
+	$$∀w1​, w2​, w3​∈W ,(w1​Rw2​ ∧ w2​Rw3​) \to w1​Rw3​$$
 
-כלומר, אם `□Α`, אז A אמיתי בכל העולמות הנגישים, לרבות העולם הממשי.
+כלומר, אם $\Box A$, אז $A$ אמיתי בכל העולמות הנגישים, לרבות העולם הממשי.
 
 
-- **סימטריים** - אם `w1` יכול לראות את `w2` אז `w2` יכול לראות את `w1`.
+- **סימטריים** - אם $w1$ יכול לראות את $w2$ אז $w2$ יכול לראות את $w1$.
+
+$$\forall w1​,w2 \in W, w1​Rw2 ​\to w2​Rw1$$
+
+כלומר, כל העולמות נגישים האחד לשני
+
+- **סדרתיים** - כל עולם יכול לגשת לפחות לעולם אחד נוסף כך ש-
+
+$$\forall w \in W,\exists v\to W\ so\ that\ wRv$$
 
-		∀w1​,w2​∈W,w1​Rw2​⟹w2​Rw1​
-	כלומר, כל העולמות נגישים האחד לשני
 
-- **סדרתיים** - כל עולם יכול לגשת לפחות לעולם אחד נוסף (s.t[^1]).
 
-		∀w∈W,∃v∈W s.t. wRv
-		
----
 !!! is-info "הגדרה"
-	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **רפלקסיבי** מתקיים: `Μ ⊨  Τ`
+	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **רפלקסיבי** מתקיים: $Μ ⊨  Τ$
 
 
 (כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי)
@@ -212,5 +220,4 @@ I.F.F[^2]
 	□Δυ[~Β] is Σ-consistent
 
 
-[^1]: כך ש
 [^2]: אם ורק אם