vault backup: 2025-01-23 14:17:05

פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/פאראקונסיסטנטית.md

@@ -169,6 +169,110 @@ $Γ \models A$ אם אין $v$ כך ש $Τ\in\lor(C)$ עבור כל $c \in Γ$
 
 **משפט** - $A$ טאוטולוגיה קלאסית אם ורק אם $A$ טאוטולוגיה גם בלוגיקה של הפרדוקס (LP).
 
+### ביקורת
+
+טענה קלאסית כנגד לוגיקת הפרדוקס הוא **הסילוגיזם הדיסיונקטיבי** (Disjunctive sylogism).
+
+נתון:
+
+$$Α, \neg A \lor B \models B$$
+
+נניח $A$, $B$ אטומיים לצורך העניין. ניקח $v$ כך ש- 
+
+$$v(A) = P, v(B) = F$$
+
+מכך נובע בלוגיקת הפרדוקס:
+
+$$v(\neg A) = P, v(\neg A \lor B) = P$$
+
+זו דוגמה נגדית - A אמיתי, שלילת A או B אמיתית, וB - שקרית; כלומר, טיעון שתקף בלוגיקה קלאסית, לא תקף בלוגיקת הפרדוקס.
 
 
-[^1]: את העמדה הזו הגה [Graham Priest](https://en.wikipedia.org/wiki/Graham_Priest) -  זו דוגמה קלאסית לאדם (*מעניין*, מוסיפים רע ואורי) שבוחר עמדה מופרכת לחלוטין, ומגן עליה בעקביות, בלהט ובחירוף נפש, עד שהיא נכנסת לספרות הפילוסופית.
+| $\to$ | $T$ | $P$ | $F$ |
+| ----- | --- | --- | --- |
+| $T$   | T   | P   | F   |
+| $P$   | T   | P   | P   |
+| $F$   | T   | T   | T   |
+
+
+ולכן, במקרים בהם A פרדוקסלי וB שקרי, נקבל דוגמה נגדית למודוס פוננס[^2] - 
+
+$$ \begin{align} 
+A \\
+Α \to B\\ \
+\therefore
+B
+\end{align}$$
+
+
+זו כמובן בעיה - אנחנו רוצים, כלוגיקאים, להאמין שמודוס פוננס תקף.
+
+בעיה נוספת היא עם **שקילות** - **פסוקים פרדוקסלים שקולים לכל פסוק אחר!**
+
+| $\leftrightarrow$ | $T$ | $P$ | $F$ |
+| ----------------- | --- | --- | --- |
+| $T$               | T   | P   | F   |
+| $P$               | P   | P   | P   |
+| $F$               | F   | P   | T   |
+
+למה זה בעייתי? חשבו שאגיד בשפה - *היום יורד גשם* הוא אמיתי *ורק* אמיתי. בלוגיקה פרדוקסלית אין דרך להגיד את זה! בלוגיקה קלאסית נגיד שזה *גורר לאבסורד* (סתירה) - אין חיה כזו בלוגיקה פרדוקסלית: איך אומרים משהו שהוא *רק* אמיתי, או *רק* שקרי?
+
+פריסט עצמו ניסה להראות שאם נכונן פסוק תנאי ש*כן* נשמע למודוס פוננס, הבעיה תיפתר: זהו מושא של לוגיקת [Relevance Logic](https://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance/), שהיא מסובכת להחריד. 
+
+פתרון נוסף הוא *כללי היסק מסוימים*. נניח ונכתיר את הפסוק *יורד גשם* כα - ואז נגיד, *בגלל שגשם* - **ספציפית** *גשם, עובד בצורה כזו, α יכול להיות או אמיתי או שקרי, וזהו*. 
+
+
+
+### מערכת הוכחה
+
+1. **אקסיומה**:  $Α \lor \neg A$
+2. **כללים של דדוקציה טבעית לדיסיונקציה וקוניונקציה**:
+$$\begin{align}
+\neg \neg A \therefore A \\
+A \therefore \neg \neg A \\
+\neg (A \land B) \therefore \neg A \lor \neg B \\
+\neg (A \lor B) \therefore \neg A \land \neg B
+\end{align}$$
+
+3. **עובדה**: אם $Γ \models A$ (בלוגיקה של הפרדוקס), אזי יש לפחות פסוק אטומי אחד q שמופיע גם בA וגם בחלק מפסוקי Γ.
+
+כלומר, יש קשר הכרחי בין הנחות למסקנה - הישג נאה. 
+
+לוגיקה של הפרדוקס מתבררת כחלשה מאוד מחוץ לטאוטולוגיות של לוגיקה קלאסית; אולי כדאי לעשות משהו אחר. מקרים כמו *פרדוקס השקרן* הם נדירים: אולי כדאי לדחוק אותם הצידה, ולא לפגוע בחוזקת הלוגיקה כולה בשבילם?
+
+פריסט מציע גם פתרון כזה.
+
+### Μinimally Inconsitent Paradox Logic
+
+בגרסא ה*מינימלית* של לוגיקת הפרדוקס,
+
+- **הנחה**: ברירת המחדל היא עקביות: ככלל, אין סתירות אמיתיות.
+
+- **קיצור**: ערך האמת של פרדוקס ($P!$) גורר:
+
+$$P! = P \land \neg P$$
+
+$
+- **הגדרה**: $v1 < v2$ אם ורק אם:
+ 
+$$
+\{ q\ |\ v1(q) = p\} \subset \{q\ |\ v2(q) = p\}
+$$
+
+נגדיר $v\models B$ אם $Τ \in \lor (B)$ וגם לכל $v' < v$: $v'(B) = \{F\}$
+
+
+- **דוגמא**: $p \land \neg p$
+
+	המודל המינימלי הוא זה שבו $v(p) = P$ אבל לכל פסוק אטומי אחר $q$: $v(q)$ קלאסי.
+
+- **הגדרה**:
+$Γ \models A$ אם לכל מודל מינימלי של פסוקי Γ הוא מודל של A.
+
+בבירור - 
+
+$Γ \models A$ בלוגיקת הפרדוקס אזי $Γ \models A$.
+
+נניח ש$Σ$ היא קבוצת פסוקים, ונסמן ב$Σ(CL), Σ(M), Σ(LP)$ 
+[^1]: את העמדה הזו הגה [Graham Priest](https://en.wikipedia.org/wiki/Graham_Priest) -  זו דוגמה קלאסית לאדם (*מעניין*, מוסיפים רע ואורי) שבוחר עמדה מופרכת לחלוטין, ומגן עליה בעקביות, בלהט ובחירוף נפש, עד שהיא נכנסת לספרות הפילוסופית.
+[^2]: $\therefore$ = *לפיכך*