vault backup: 2025-02-01 14:07:55

.obsidian/workspace.json

@@ -13,12 +13,12 @@
             "state": {
               "type": "markdown",
               "state": {
-                "file": "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/מודאלית.md",
+                "file": "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md",
                 "mode": "source",
                 "source": false
               },
               "icon": "lucide-file",
-              "title": "מודאלית"
+              "title": "index"
             }
           },
           {
@@ -193,6 +193,7 @@
   },
   "active": "095c465e7270712e",
   "lastOpenFiles": [
+    "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/מודאלית.md",
     "פסיכולוגיה/אישיות/הומניסטיות.md",
     "פסיכולוגיה/אישיות/index.md",
     "פסיכולוגיה/אישיות/קליין.md",
@@ -225,7 +226,6 @@
     "פילוסופיה/אתיקה/רפלקטיביים.md",
     "פילוסופיה/אתיקה/ניקומאכית/index.md",
     "פילוסופיה/מטאפיזיקה/סיבתיות.md",
-    "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/טמפורלית.md",
     "פילוסופיה/מטאפיזיקה/dislike.jpg",
     "פסיכולוגיה/תודעה/8.pdf",
     "פסיכולוגיה/תודעה/lu32004a4g.tmp",

פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md

@@ -478,76 +478,76 @@ $$
 ## משפט הדדוקציה
 
 !!! info "משפט הדדוקציה"
-	`Γ  ∪ {A} ⊢ B` אם ורק אם `Γ ⊢ A-> B`
+	$Γ  ∪ {A} ⊢ B \iff  Γ ⊢ A \to B$
 
 דוגמה:
 
-`A ⊢ A` ולכן לפי משפט הדדוקציה
+$A ⊢ A$ ולכן לפי משפט הדדוקציה
-` ⊢ A -> A`
+$⊢ A \to A$
 
 
 דוגמה שנייה: נוכיח
 
-`{ A -> B, B -> C } |- A -> C`
+${ A \to B, B \to C } \vdash A \to C$
 
 לפי משפט הדדוקציה מספיק להראות:
 
-`{ A-> B, B-> C, A} |- C`
+${ A \to B, B \to C, A} \vdash C$
 
-```
+| ביטוי     | הצדקה  |
-1. A      #Assumption
+| --------- | ------ |
-2. A -> B #Assumption
+| $A$       | הנחה   |
-3. B      #MP 1,2
+| $A \to B$ | הנחה   |
-4. B -> C #Assumption
+| $B$       | MP 1,2 |
-5. C      # MP 3,4
+| $B \to C$ | הנחה   |
-```
+| $C$       | MP 3,4 |
 
 
 למה משפט הדדוקציה נכון?
 
 בכיוון הראשון, נניח
 
-`Γ |- A-> B`
+$Γ \vdash A\to B$
 
 לכן, גם
 
-`Γ ∪ {A} |- A -> B`
+$Γ ∪ {A} \vdash A \to B$
 
 כמו כן,
 
-`Γ ∪ {A} |- A`
+$Γ ∪ {A} \vdash A$
 
 (זו הנחה).
 
 וע"י MP נקבל:
 
-`Γ ∪ {A} + B`
+$Γ ∪ {A} + B$
-
 כנדרש.
 
 בכיוון השני נתון
 
-`Γ ∪ {A} + B`
+$Γ ∪ {A} + B$
 
 ונוכיח
-`Γ |- A -> B`
+$Γ \vdash A \to B$
 
 כבר הוכחנו ש `A, ~A |- B` - עכשיו נבנה הוכחה עבור 
 
-`~A |- A-> B`
+$\neg A \vdash A \to B$
+
+| ביטוי                                       | הצדקה             |
+| ------------------------------------------- | ----------------- |
+| ~A -> (A -> ~A)                             | אקסיומה 1         |
+| ~A                                          | הנחה              |
+| A -> ~A                                     | MP 1,2            |
+| R                                           | אקסיומה 1 (סימון) |
+| R -> (A -> R)                               | אקסיומה 1         |
+| A -> R                                      | MP 4,5            |
+| (A -> B) -> ((A -> ~A) -> (A -> (~B -> ~A)) | אקסיומה 2         |
+| (A -> ~A) -> (A -> (~B -> A))               | MP                |
+| A -> ~A                                     | 3.                |
+| A -> (~B -> ~A)                             | MP                |
 
-```
-1. ~A -> (A -> ~A)                              # Axiom 1
-2. ~A                                           # Assumption
-3. A -> ~A                                      # MP 1,2
-4. R                                            # Axiom 1 (marking)
-5. R -> (A -> R)                                # Axiom 1
-6. A -> R                                       # MP 4,5
-7. (A -> B) -> ((A -> ~A) -> (A -> (~B -> ~A))  # Axiom 2
-8. (A -> ~A) -> (A -> (~B -> A))                # MP
-9. A -> ~A                                      # 3.
-10. A -> (~B -> ~A)                             # MP
-```
 
 
 וכו' וכו'.
@@ -555,40 +555,40 @@ $$
 ## משפט השלילה
 
 !!! info "משפט השלילה"
-	אם `Γ ∪ {~A}` לא עקבית (מגיעה לסתירה), אז `Γ |- A`.
+	אם $Γ ∪ {\neg A}$ לא עקבית (מגיעה לסתירה), אז $Γ \vdash A$.
 
 נראה ש: 
-`~~A |- A`
+$\neg \neg A \vdash A$
 
-לפי משפט ההוכחה בשלילה, מספיק להראות שהקבוצה `{~~A, ~A}` לא עקבית. וזה ברור.
+לפי משפט ההוכחה בשלילה, מספיק להראות שהקבוצה ${ \neg \neg A, \neg A}$ לא עקבית. וזה ברור.
 
 **הוכחת משפט ההוכחה בשלילה**: 
 
-נניח `Γ ∪ {~A}` לא עקבית - כלומר אפשר להוכיח ממנה כל פסוק.
+נניח $Γ ∪ {\neg A}$ לא עקבית - כלומר אפשר להוכיח ממנה כל פסוק.
 
-תהי P אקסיומה כלשהי. אזי: `Γ ∪ {~A} |- ~P`
+תהי P אקסיומה כלשהי. אזי: $Γ ∪ {\neg A} \nvdash \neg P$
 
 לפי משפט הדדוקציה:
 
-`Γ ∪ ~A -> ~P`
+$Γ ∪ \neg A \to \neg P$
 
 כמו כן:
 
-`Γ |- (~A -> P) -> (P -> A)` (אקסיומה 3)
+$Γ \vdash (\neg A \to P) \to (P \to A)$ (אקסיומה 3)
 
 MP:
 
-`Γ |- P -> A`
+$Γ \vdash P \to A$
 
 אבל
 
-`Γ |- P`
+$Γ \vdash P$
 
-ולכן MP נותן `Γ |- A` כמו שרצינו.
+ולכן MP נותן $Γ \vdash A$ כמו שרצינו.
 
 ### תחביר וסמנטיקה
 
-**תחביר** (סינטקס) הוא הכללים הטכניים שקובעים מהו פסוק וכן מתי אפשר להוכיח פסוק מסוים A מסט הנחות Γ (Γ |- A).
+**תחביר** (סינטקס) הוא הכללים הטכניים שקובעים מהו פסוק וכן מתי אפשר להוכיח פסוק מסוים A מסט הנחות $Γ (Γ \vdash A)$.
 
 **סמנטיקה** היא תורת משמעות. מבחינתו, משמעותו של פסוק היא תנאי האמת שלו - מתי הוא אמיתי ומתי הוא שקרי. אפשר לעשות זאת עם כלים כמו טבלאות אמת - 
 
@@ -607,11 +607,11 @@ MP:
 
 טיעון מקבוצת הנחות  Γ למסקנה A תקף אם בטבלת האמת אין שורה בה כל איברי Γ אמיתיים אבל A שקרי.
 
-Γ |=[^6] A
+$Γ \models A$
 
-מערכת הוכחה תיקרא **נאותה** אם `Γ |- A` אז `Γ |= A`.
+מערכת הוכחה תיקרא **נאותה** אם $Γ \vdash A$ אז  $Γ \models A$.
 
-לעומת זאת, מערכת הוכחה תיקרא **שלמה** אם `Γ |= A` אז  `Γ |- A`. זה לא דבר קל - זה אומר שאם טבלאות האמת תקינות (אין מצב שבו כל ההנחות נכונות והמסקנה שקרית), *בהכרח* תהיה הוכחה כזו במערכת, מורכבת ככל שתהיה.
+לעומת זאת, מערכת הוכחה תיקרא **שלמה** אם $Γ \models A$  אז  $Γ \vdash A$. זה לא דבר קל - זה אומר שאם טבלאות האמת תקינות (אין מצב שבו כל ההנחות נכונות והמסקנה שקרית), *בהכרח* תהיה הוכחה כזו במערכת, מורכבת ככל שתהיה.
 
 
 
@@ -621,5 +621,3 @@ MP:
 [^2]: זכרו, אנחנו לא מערבים כרגע זמן - אז אין דברים כמו *אם הבקבוק מלא עכשיו*...
 [^3]: ר' גם [חוק הסתירה האריסטותלי](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו/מטאפיזיקה#חוק-הסתירה).
 [^4]: ראסל היה בריטי.
-[^5]: סימן ה"יכיח" (בר הוכחה). המציא אותו [פרגה](/פילוסופיה/לשון/פרגה).
-[^6]: סימן ה"מוכח" (בדקנו את היכיח, והוא באמת הוכיח).