vault backup: 2024-12-05 13:17:37
This commit is contained in:
588
פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md
Normal file
588
פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md
Normal file
@@ -0,0 +1,588 @@
|
||||
title: לוגיקה מתקדמת
|
||||
|
||||
!!! info "חומר הקורס"
|
||||
[מודל](https://moodle.bgu.ac.il/moodle/course/view.php?id=55543), [סילבוס](https://moodle.bgu.ac.il/moodle/mod/resource/view.php?id=2865244)
|
||||
|
||||
|
||||
## מושגי יסוד
|
||||
|
||||
למדנו ב[לוגיקה](/פילוסופיה/לוגיקה) ש -
|
||||
|
||||
**טענות** - אמירות שניתן לקבוע כאמת או שקר
|
||||
|
||||
**טיעון** - אוסף של טענות ומסקנה
|
||||
|
||||
**תקפות** - *אם כל ההנחות אמיתיות, המסקנה בהכרח אמיתית*
|
||||
|
||||
|
||||
אבל בעצם, *לא נכון*[^1].
|
||||
|
||||
העקרונות, ההצרנות, והכללים הללו *פשוט לא תופסים* את הדרך שבה אנחנו חושבים ברוב המקרים.
|
||||
|
||||
אולי אם נפתח את הכלים הלוגיים הללו, נוכל ללכוד בצורה טובה יותר את האופן שבו אנחנו חושבים.
|
||||
|
||||
### למה זה לא עובד?
|
||||
|
||||
#### הכרח
|
||||
|
||||
נניח ויש לי כאן בקבוק. הוא יכול להיות מלא, או ריק.
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
1. אם הבקבוק מלא, אז הוא **בהכרח** לא ריק
|
||||
2. הבקבוק מלא
|
||||
3. הבקבוק **בהכרח** לא ריק
|
||||
|
||||
```
|
||||
1. F > E
|
||||
2. F
|
||||
3. ~E
|
||||
```
|
||||
|
||||
האמנם? אם הבקבוק מלא יש *הכרח* מטאפיזי שהוא יהיה לא ריק? הבקבוק לעולם לא יכול להיות ריק, כחוק טבע? כנראה שלא - הבקבוק *יכול* להיות ריק[^2].
|
||||
|
||||
ואיפה הבעיה? המילה **בהכרח**.
|
||||
|
||||
האם נוכל לוותר בהכרח? בפילוספיה, כנראה שלא. זכרו את ההגדרה של תקפות - אם הטיעון תקף, המסקנה *בהכרח* אמיתית.
|
||||
|
||||
הלוגיקה שלמדנו עד כה לא יודעת לאכול את עניין ה*הכרח*. מה עושים? זה הרבה יותר מורכב ממה שנדמה לנו - חלק מהבעיות האלו היו פתוחות עשורים שלמים!
|
||||
|
||||
#### תנאי
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
אם יש יותר מ70 אנשים בחדר הזה, אז יורד גשם
|
||||
|
||||
|
||||
לפני ששטפו לנו את המוח בתואר, כולנו הבנו שזה לא נכון. אבל מבחינה לוגית, זה תקף, וכולנו החלטנו שזה דווקא כן נכון.
|
||||
|
||||
| A | B | A > B |
|
||||
| --- | --- | ----- |
|
||||
| T | T | T |
|
||||
| F | T | T |
|
||||
| T | F | F |
|
||||
| F | F | T |
|
||||
|
||||
אבל ברור לנו שזה לא נכון - חייב להיות איזשהו קשר *תוכני* בין הטענות, בלי קשר למה שאומרת טבלת האמת. יש סיבות לכך שדרשנו את זה, אבל עדיין יש כאן בעיה.
|
||||
|
||||
#### משפטי תנאי נוגדי מציאות
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
אם טראמפ לא היה מנצח את מערכת הבחירות, אז בוש היה מנצח.
|
||||
|
||||
אמיתי? לא. בוש לא התמודד מול טראמפ. אבל -
|
||||
!!! info ""
|
||||
אם טראמפ לא היה מנצח את מערכת הבחירות, אז האריס הייתה מנצחת.
|
||||
|
||||
לוגית, המבנה זהה. אבל אחד נוגד מציאות והשני לא - ואנחנו מדברים ככה כל הזמן; איך נפלה ביניהם בכלים לוגיים?
|
||||
|
||||
!!! success ""
|
||||
לדוגמאות נוספות - [Vann McGee's Counterexample to Modus Ponens](https://www.jstor.org/stable/4320663)
|
||||
|
||||
|
||||
#### מסתירה נובע כל דבר
|
||||
|
||||
*אם ההנחות נכונות, אז המסקנה בהכרח אמיתית*. אם ההנחה שלי נכונה, המסקנה *לא יכולה לסתור אותה*. אז מסתירות נובע כל דבר[^3], אחלה. אבל, *לא נכון* - אנחנו לא חושבים ככה; חייב להיות קשר תוכני!
|
||||
|
||||
#### תואר הפועל
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
1. יוסי רץ במהירות
|
||||
2. יוסי רץ
|
||||
|
||||
```
|
||||
1. Qy
|
||||
2. Ry
|
||||
```
|
||||
|
||||
מפרדיקט אחד נובע פרידקט אחר - מבחינת הלוגיקה, זה **לא נכון**, אבל *ברור* שאם יוסי רץ במהירות, יוסי רץ; אנחנו מסיקים ככה כל הזמן, ובצדק.
|
||||
|
||||
#### הקשרים מכוונים
|
||||
<small>קונטסקטים אינטציונליים</small>
|
||||
|
||||
```
|
||||
a = b
|
||||
pa
|
||||
---
|
||||
pb
|
||||
```
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
1. טראמפ יודע שהמורה בקורס בלוגיקה הוא המורה בקורס בלוגיקה
|
||||
2. מורה הקורס בלוגיקה הוא אני (רע גולן)
|
||||
3. טראמפ יודע שהמורה בקורס בלוגיקה הוא רע גולן
|
||||
|
||||
מממ, לא.
|
||||
|
||||
|
||||
<small>טראמפ לומד לוגיקה (בינה מלאכותית). לא סביר.</small>
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
אי אפשר לוותר על הקשרים מכוונים כמו *יודע ש*, *מאמין ש*, וכדומה. אבל ברגע שגוררים אותם פנימה, הלוגיקה מתפרקת.
|
||||
|
||||
אנחנו אמנם טועים לפעמים, אבל רוב ההיסקים שלנו - כמו שטראמפ לא מכיר את המרצה שלנו ללוגיקה - הם נכונים; איך אפשר ליישב את הלוגיקה עם החשיבה שלנו?
|
||||
|
||||
#### כימות
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
פגסוס הוא סוס מכונף
|
||||
יש דבר כזה שהוא מכונף
|
||||
|
||||
```
|
||||
Wp
|
||||
∃xWx
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
פגסוס הוא סוס עם כנפיים. אבל פגסוס לא קיים. אבל יש דבר מכונף. אז אנחנו מסכימים שפגסוס קיים אבל לא קיים. יש כל מיני [פתרונות מוצעים](/פילוסופיה/לשון/ראסל#האובייקט-הריק-של-מיינונג), אבל הם מצדיקים את השם הרע שיוצא לפילוסופיה.
|
||||
|
||||
הפתרון כרוך בהקשר - ברור לנו שפגסוס אמיתי במובן שהוא דבר שיש בראש שלנו, אבל לא *באמת* קיים בחוץ בעולם. אבל כמו שראינו, ברגע שנכנס הקשר, הלוגיקה מתפרקת.
|
||||
|
||||
#### נוגדי-אפשרות
|
||||
<small>Counterpossibles</small>
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
אם הייתי מוצא דוגמה נגדית למשפט האחרון של פרמה, הייתי מפורסם.
|
||||
|
||||
זה משפט אמיתי. אבל
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
אם הייתי מוצא דוגמה נגדית למשפט האחרון של פרמה, הירח היה עשוי מגבינה
|
||||
|
||||
המשפט האחרון לא רק שקרי - *הוא לא יכול להיות נכון לעולם*; אין שום אפשרות כזו - היא נוגדת את חוקי הפיזיקה.
|
||||
|
||||
|
||||
#### דו-ערכיות
|
||||
|
||||
אריסטו נותן לנו דוגמה -
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
מחר יתקיים קרב ימי
|
||||
|
||||
אנחנו לא יודעים אם מחר יתקיים קרב ימי. אנחנו מניחים שיש לו ערך אמת - כמו שלכל פסוק יש ערך אמת. אבל בעצם יש פה השלכה מטאפיזית מזעזעת -
|
||||
|
||||
<big><bold>דטרמיניזם</bold></big>
|
||||
|
||||
|
||||
רגע, *מה*? זה שזה נכון או לא נכון זה עיקרון סמנטי - אבל ש*זה* יגרור עיקרון מטאפיזי, כאילו
|
||||
אמיתותו של הקרב הימי *כבר* קבועה מראש?
|
||||
|
||||
|
||||
יש גם את העניין של *מחר*. הלוגיקה שלנו צריכה לדעת "לאכול" היבטים טמפורליים - בזמן. אין חיה כזו בינתיים.
|
||||
|
||||
|
||||
<small>קרב ימי. יתקיים מחר?</small>
|
||||
|
||||
#### פרדוקסיים סמנטיים
|
||||
|
||||
**פרדוקס סמנטי** הוא פרדוקס שקשור במונחי אמת, שקר, הוראה וכדומה. למשל -
|
||||
|
||||
!!! warning "המשפט הזה הוא שקר."
|
||||
|
||||
אם המשפט הזה אמיתי, אז הוא שקרי, אז הוא אמיתי...
|
||||
|
||||
זו *צרה צרורה*, אומר רע בדרמטיות, *קטסטרופה* - לא להאמין כמה קשה להיפטר מהדבר הזה.
|
||||
|
||||
מה שלכאורה עולה מ**פרדוקס השקרן** הזה הוא שיש בעיה בערכי האמת שאנחנו מניחים - אמת ושקר - שמוציאים אחד את השני. מושג ה*אמת* נשמע מאוד מאוד חשוב; האתגר כאן הוא להציל את מושג האמת מסתירות ופרדוקסים - באמצעות תיאור הולם.
|
||||
|
||||
### תורת הקבוצות
|
||||
|
||||
**תורת הקבוצות** היא תורה מתמטית שפיתח המתמטיקאי הגרמני [גאורג קאנטור](https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor).
|
||||
|
||||
**קבוצה** היא אוסף של איברים.
|
||||
|
||||
#### סימון
|
||||
|
||||
נסמן קבוצה באות גדולה, ונמנה את האיברים בסוגריים מסולסלים.
|
||||
|
||||
**פינגווינים**
|
||||
{ קיסרי, ג'נטו, אדלי ... } = P
|
||||
|
||||
איברים יהיו אותיות קטנות באנגלית -
|
||||
|
||||
**P**
|
||||
{e, g, a}
|
||||
|
||||
#### שייכות
|
||||
ושייכות בסימן השייכות -
|
||||
|
||||
`e ∈ P`
|
||||
|
||||
!!! warning ""
|
||||
קבוצות יהיו שוות אם ורק אם כל האיברים זהים - נאמר שA=P אם ורק אם לכל a:
|
||||
`a ∈ A = a ∈ P`
|
||||
|
||||
זוהי טענה חשובה פילוסופית!
|
||||
|
||||
#### חלקיות
|
||||
|
||||
A ⊆ P אם לכל a:
|
||||
|
||||
`אם a ∈ B אז a ∈ P`
|
||||
|
||||
נאמר שA **חלקי ממש** לP אם `A ⊆ P` *וגם* יש `a ∈ P` כך ש `a ∉ A`
|
||||
|
||||
#### כלליות
|
||||
|
||||
לפעמים נצא מנקודת ההנחה (הבעייתית!) שיש קבוצה אוניברסלית U - כלומר, הקבוצה של כל האיברים באשר הם.
|
||||
|
||||
#### קבוצה משלימה
|
||||
|
||||
עבור קבוצה שכוללת את כל האיברים *שאינם* שייכים לקבוצה, נגיד שהיא קבוצה *משלימה*. למשל, לא-פינגווינים -
|
||||
|
||||
`A = Pc`
|
||||
|
||||
|
||||
משמע A הוא כל מה שאינו פינגווינים.
|
||||
|
||||
`Ac = { a | a ∉ A (a ∈ A)}`
|
||||
|
||||
#### איחוד
|
||||
|
||||
בהינתן A, P, נוכל לדבר על קבוצת האיחוד - פינגווינים ולא-פינגווינים -
|
||||
|
||||
`A ∪ P = { x | x ∈ A או x ∈ B }`
|
||||
|
||||
#### חיתוך
|
||||
|
||||
מנגד, קבוצת החיתוך היא מה שכוללת לא A ולא P (אם A היא קבוצת הסטודנטים - כל מה שלא סטודנט ולא פינגווין)
|
||||
|
||||
`A ∩ B = { x | x ∈ A וגם x ∈ B }`
|
||||
|
||||
#### קבוצה ריקה
|
||||
|
||||
קבוצה בלי כלום.
|
||||
|
||||
`Ø`
|
||||
|
||||
#### חוקי דה-מורגן
|
||||
|
||||
`(A ∪ B)^c^ ⊆ A^c∩B^c`
|
||||
|
||||
זה מקביל לפסוק הבא מתחשיב הפסוקים:
|
||||
|
||||
`∧~(p v q ) ≡ ~p ∧ ~q`
|
||||
|
||||
`A^c ∩ B^c ⊆(A ∪ B)^c`
|
||||
|
||||
(כאן הייתה הוכחה, אבל אני מאמין לרע)
|
||||
|
||||
#### אבל למה?
|
||||
|
||||
כי מתמטיקאים מאמינים שאובייקטים מתמטיים הם כולם קבוצות - דרך מסוימת לחשוב על הדברים. *מה הקשר?* זה מה שקאנטור הראה, אבל זה נוח גם לנו כפילוסופים - כל מה שיש במתמטיקה, מטאפיזית, הן קבוצות - ולא צריך לריב על כל הישיים האחרים.
|
||||
|
||||
#### יחסים
|
||||
|
||||
ביחסים, בניגוד לקבוצות, הסדר משנה - נסמן R כלהיות אבא של -
|
||||
|
||||
```
|
||||
R(b,a)
|
||||
R(a,b)
|
||||
```
|
||||
|
||||
מושיק אבא של איציק *ממש לא שווה* לאיציק אבא של מושיק.
|
||||
|
||||
לכן היחס של R(b,a) הוא **זוג סדור**, שנסמן ב`<>`. כלומר,
|
||||
|
||||
```
|
||||
F(x,y) = {<a,b> | a הוא אבא של b}
|
||||
```
|
||||
|
||||
נייצג את זה בתורת הקבוצות -
|
||||
|
||||
```
|
||||
<x,y> = ~{{x}, {x,y}}
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
אם `<a,b> = <c,d>`, אז `a=c, b=d`.
|
||||
|
||||
|
||||
!!! warning ""
|
||||
אם a≠c אזי {a} ≠ {c}
|
||||
אבל אז: {a} = { c,d }
|
||||
אז בהכרח: a=c=d כי אלו קבוצות באותו הגודל
|
||||
באופן דומה, b=d
|
||||
|
||||
#### עקרון הקומפרהנציה
|
||||
|
||||
על פניו, זהו רק שכתוב של תחשיב הפסוקים. הוא נושא את **עקרון הקופמרהנציזה** - *לכל תכונה P(x) יש קבוצה* -
|
||||
|
||||
{x | P(x)}
|
||||
|
||||
|
||||
[**ראסל**](/פילוסופיה/לשון/ראסל) זיהה בעייה. דמיינו שיש קבוצת ספלי תה[^4]. הקבוצה המשלימה - לא-ספלי-תה - אינה ספל תה, ולכן שייכת לעצמה.
|
||||
|
||||
|
||||
```
|
||||
R
|
||||
|
||||
R = {x | x ∉ X}
|
||||
האם R ∈ R?
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
הדבר הזה מתנהג כמו [פרדוקס השקרן](#פרדוקסיים-סמנטיים), ובגללו תורת הקבוצות מורכבת בהרבה היום.
|
||||
|
||||
!!! warning "הערה על סוגים של יחסים"
|
||||
כזכור, יחס R הוא קבוצה של זוגות סדורים:
|
||||
|
||||
`R = { <x,y> | x עומד ביחס Y עם R}`
|
||||
|
||||
אפשר לחשוב על זה שכל הפריטים בR עומדים באותו יחס אחד עם השני.
|
||||
למשל, *קרוב ל...* - אם Y קרוב לR וX קרוב לR אז X קרוב לY.
|
||||
|
||||
במצב כזה, היחס יהיה יחס **סימטרי**:
|
||||
|
||||
אם `xRy -> yRx`
|
||||
|
||||
מצב נוסף הוא יחס **רפלקסיבי** אם לכל X:
|
||||
|
||||
`xRX`
|
||||
|
||||
- יחס R ייקרא **טרנזיטיבי** אם לכל x,y,z:
|
||||
|
||||
`אם xRy וגם yRz אז xRz`
|
||||
|
||||
(אם אני שוקל יותר מכלב, וכלב שוקל יותר מפינגווין, אני שוקל יותר מפינגווין).
|
||||
|
||||
יחס R ייקרא **סדרתי** אם לכל x יש y:
|
||||
|
||||
`xRy`
|
||||
|
||||
(לכל מישהו יש מישהו שאוהב אותו, לכל ילד יש הורים).
|
||||
|
||||
זה האקדח במערכה הראשונה. נחזור לזה.
|
||||
|
||||
|
||||
## תחשיב הפסוקים (כפי שמעולם לא הכרתם אותו)
|
||||
|
||||
רגע, כבר למדנו [תחשיב הפסוקים](/פילוסופיה/לוגיקה/פסוקים). למה חוזרים לזה עכשיו?
|
||||
|
||||
בתחשיב יש *מלא* כללים. מי זוכר את כל זה? אולי זה חוטא ל[תער של אוקאם](/פילוסופיה/דת/חובה#התער-של-אוקאם), ואפשר לפשט את זה?
|
||||
|
||||
אנחנו למדנו **דדוקציה טבעית**. למרבה הצער, אנחנו עדיין *לא* יודעים לעשות לוגיקה מודאלית (קרי: מתקדמת) בדדוקציה טבעית, אלא במערכת אחרת - **מערכת הילברט**, או **אקסיומטית**.
|
||||
|
||||
החדשות הטובות הן שאנחנו כבר יודעים את הלוגיקה, ויהיו לשיטה החדשה רק ארבע עקרונות. החדשות הרעות הם שהם נבזיים. החדשות הטובות שוב הן שאנחנו נרמה.
|
||||
|
||||
|
||||
### מרכיבי מערכת אקסיומטית
|
||||
|
||||
1. כללי היסק
|
||||
|
||||
אלו החברים שאנחנו מכירים - מודוס פוננס וחבריו
|
||||
```
|
||||
A -> B
|
||||
A
|
||||
---
|
||||
B
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
3. אקסיומות
|
||||
|
||||
אמיתות בסיסיות שאפשר לכתוב בכל שלב בגזירה פורמאלית.
|
||||
|
||||
שלושת האקסיומות שלנו יהיו כאלו:
|
||||
```
|
||||
1. A -> ( B -> A )
|
||||
2. ( A -> ( B -> C )) -> (( A -> B ) -> (A -> C))
|
||||
3. ( ~B -> ~A ) -> ( A -> B )
|
||||
```
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
למה זה נכון? ככה! זה עובד; אלו טאוטולוגיות. זה הרבה פחות אינטואיטיבי מדדוקציה טבעית, אבל זה תופס - תסמכו על רע.
|
||||
|
||||
אלו לא לגמרי אקסיומות - הן יותר כמו *סכמות*.
|
||||
|
||||
!!! success "[העשרה - Relevance Logic](https://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance/)"
|
||||
|
||||
### גזירות פורמאליות
|
||||
|
||||
!!! danger "עכשיו השלב המגעיל!"
|
||||
|
||||
נוכיח ש`A->A` ללא הנחות:
|
||||
|
||||
```
|
||||
# B = A -> A
|
||||
1. A -> ((A -> A) -> A) #Axiom 1
|
||||
2. ( A-> (( A -> A) -> A)) -> (A -> (A -> A)) -> (A -> A) ) #Axiom 2
|
||||
3. ( A -> ( A -> A) ) -> (A -> A) #MP 1,2
|
||||
4. A -> (A -> A) #Axiom 1
|
||||
5. A -> A #MP 3,4
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
אבל רגע. מה זה בכלל גזירה פורמאלית?
|
||||
|
||||
!!! info "גזירה פורמאלית"
|
||||
נאמר שפסוק A גזיר\יכיח **מקבוצת** הנחות Γ במערכת הילברט ( Γ |-[^5] A) אם יש גזירה פורמלית - סדרת פסוקים מהצורה `A1, A2, A3...` כך שלכל פסוק `Ai` בסדרה אחת מהאפשרויות הבאות נכונה:
|
||||
|
||||
1. `Ai` הוא אקסיומה
|
||||
2. `Ai` הוא הנחה
|
||||
3. `Ai` התקבל על ידי מודוס פוננס על שורות קודמות
|
||||
|
||||
|
||||
דוגמה נוספת - `A, ~A |- B` (*מסתירה נובע כל דבר*)
|
||||
|
||||
```
|
||||
1. ~A #Assumption
|
||||
2. ~A -> (~B -> ~A) #Axiom 1
|
||||
3. ~B -> ~A # Modus Ponens 1,2
|
||||
4. (~B -> ~A) -> (A -> B) #Axiom 3
|
||||
5. A -> B #MP 3,4
|
||||
6. A #Assumption
|
||||
7. B #MP 5,6
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
!!! success "עכשיו קיצורי דרך!"
|
||||
|
||||
|
||||
## משפט הדדוקציה
|
||||
|
||||
!!! info "משפט הדדוקציה"
|
||||
`Γ ∪ {A} ⊢ B` אם ורק אם `Γ ⊢ A-> B`
|
||||
|
||||
דוגמה:
|
||||
|
||||
`A ⊢ A` ולכן לפי משפט הדדוקציה
|
||||
` ⊢ A -> A`
|
||||
|
||||
|
||||
דוגמה שנייה: נוכיח
|
||||
|
||||
`{ A -> B, B -> C } |- A -> C`
|
||||
|
||||
לפי משפט הדדוקציה מספיק להראות:
|
||||
|
||||
`{ A-> B, B-> C, A} |- C`
|
||||
|
||||
```
|
||||
1. A #Assumption
|
||||
2. A -> B #Assumption
|
||||
3. B #MP 1,2
|
||||
4. B -> C #Assumption
|
||||
5. C # MP 3,4
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
למה משפט הדדוקציה נכון?
|
||||
|
||||
בכיוון הראשון, נניח
|
||||
|
||||
`Γ |- A-> B`
|
||||
|
||||
לכן, גם
|
||||
|
||||
`Γ ∪ {A} |- A -> B`
|
||||
|
||||
כמו כן,
|
||||
|
||||
`Γ ∪ {A} |- A`
|
||||
|
||||
(זו הנחה).
|
||||
|
||||
וע"י MP נקבל:
|
||||
|
||||
`Γ ∪ {A} + B`
|
||||
|
||||
כנדרש.
|
||||
|
||||
בכיוון השני נתון
|
||||
|
||||
`Γ ∪ {A} + B`
|
||||
|
||||
ונוכיח
|
||||
`Γ |- A -> B`
|
||||
|
||||
כבר הוכחנו ש `A, ~A |- B` - עכשיו נבנה הוכחה עבור
|
||||
|
||||
`~A |- A-> B`
|
||||
|
||||
```
|
||||
1. ~A -> (A -> ~A) # Axiom 1
|
||||
2. ~A # Assumption
|
||||
3. A -> ~A # MP 1,2
|
||||
4. R # Axiom 1 (marking)
|
||||
5. R -> (A -> R) # Axiom 1
|
||||
6. A -> R # MP 4,5
|
||||
7. (A -> B) -> ((A -> ~A) -> (A -> (~B -> ~A)) # Axiom 2
|
||||
8. (A -> ~A) -> (A -> (~B -> A)) # MP
|
||||
9. A -> ~A # 3.
|
||||
10. A -> (~B -> ~A) # MP
|
||||
```
|
||||
|
||||
|
||||
וכו' וכו'.
|
||||
|
||||
## משפט השלילה
|
||||
|
||||
!!! info "משפט השלילה"
|
||||
אם `Γ ∪ {~A}` לא עקבית (מגיעה לסתירה), אז `Γ |- A`.
|
||||
|
||||
נראה ש:
|
||||
`~~A |- A`
|
||||
|
||||
לפי משפט ההוכחה בשלילה, מספיק להראות שהקבוצה `{~~A, ~A}` לא עקבית. וזה ברור.
|
||||
|
||||
**הוכחת משפט ההוכחה בשלילה**:
|
||||
|
||||
נניח `Γ ∪ {~A}` לא עקבית - כלומר אפשר להוכיח ממנה כל פסוק.
|
||||
|
||||
תהי P אקסיומה כלשהי. אזי: `Γ ∪ {~A} |- ~P`
|
||||
|
||||
לפי משפט הדדוקציה:
|
||||
|
||||
`Γ ∪ ~A -> ~P`
|
||||
|
||||
כמו כן:
|
||||
|
||||
`Γ |- (~A -> P) -> (P -> A)` (אקסיומה 3)
|
||||
|
||||
MP:
|
||||
|
||||
`Γ |- P -> A`
|
||||
|
||||
אבל
|
||||
|
||||
`Γ |- P`
|
||||
|
||||
ולכן MP נותן `Γ |- A` כמו שרצינו.
|
||||
|
||||
### תחביר וסמנטיקה
|
||||
|
||||
**תחביר** (סינטקס) הוא הכללים הטכניים שקובעים מהו פסוק וכן מתי אפשר להוכיח פסוק מסוים A מסט הנחות Γ (Γ |- A).
|
||||
|
||||
**סמנטיקה** היא תורת משמעות. מבחינתו, משמעותו של פסוק היא תנאי האמת שלו - מתי הוא אמיתי ומתי הוא שקרי. אפשר לעשות זאת עם כלים כמו טבלאות אמת -
|
||||
|
||||
| A | ~ A |
|
||||
| --- | --- |
|
||||
| T | F |
|
||||
| F | T |
|
||||
|
||||
| A | B | A -> B |
|
||||
| --- | --- | ------ |
|
||||
| T | T | T |
|
||||
| F | T | T |
|
||||
| T | F | F |
|
||||
| F | F | T |
|
||||
|
||||
|
||||
טיעון מקבוצת הנחות Γ למסקנה A תקף אם בטבלת האמת אין שורה בה כל איברי Γ אמיתיים אבל A שקרי.
|
||||
|
||||
Γ |=[^6] A
|
||||
|
||||
מערכת הוכחה תיקרא **נאותה** אם `Γ |- A` אז `Γ |= A`.
|
||||
|
||||
לעומת זאת, מערכת הוכחה תיקרא **שלמה** אם `Γ |= A` אז `Γ |- A`. זה לא דבר קל - זה אומר שאם טבלאות האמת תקינות (אין מצב שבו כל ההנחות נכונות והמסקנה שקרית), *בהכרח* תהיה הוכחה כזו במערכת, מורכבת ככל שתהיה.
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
[^1]: ר' גם - [ויטגנשטיין](/פילוסופיה/דת/שפה#ויטגנשטיין).
|
||||
[^2]: זכרו, אנחנו לא מערבים כרגע זמן - אז אין דברים כמו *אם הבקבוק מלא עכשיו*...
|
||||
[^3]: ר' גם [חוק הסתירה האריסטותלי](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו/מטאפיזיקה#חוק-הסתירה).
|
||||
[^4]: ראסל היה בריטי.
|
||||
[^5]: סימן ה"יכיח" (בר הוכחה). המציא אותו [פרגה](/פילוסופיה/לשון/פרגה).
|
||||
[^6]: סימן ה"מוכח" (בדקנו את היכיח, והוא באמת הוכיח).
|
||||
347
פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/מודאלית.md
Normal file
347
פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/מודאלית.md
Normal file
@@ -0,0 +1,347 @@
|
||||
|
||||
**לוגיקה מודאלית** היא לוגיקה שעוסקת במונחי ה**אפשרות** (◇) וה**הכרח** (□) - מה שעוסקים בו ב[מטאפיזיקה](/פילוסופיה/מטאפיזיקה).
|
||||
|
||||
## אריסטותלית
|
||||
|
||||
[אריסטו](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו/מטאפיזיקה) מחלק את היישים והתכונות לשלוש סוגים:
|
||||
|
||||
- אפשרי (יכולים להיות קיימים, אבל לא קיימים כרגע)
|
||||
- אקטואלי (קיימים בפועל)
|
||||
- הכרחי (לא יכולים לא להיות קיימים)[^1]
|
||||
|
||||
כלומר -
|
||||
|
||||
`◇A - יכול לרדת גשם היום`
|
||||
|
||||
`□A - חייב לרדת גשם היום`
|
||||
|
||||
`A - יורד גשם היום`
|
||||
|
||||
|
||||
אפשרות והכרח עומדים ביחס - מה שהכרחי, שלילתו לא יכולה להיות אפשרית -
|
||||
|
||||
`□A ≡ ~◇~A`
|
||||
|
||||
ומה שאפשרי, לא ייתכן ששלילתו הכרחית -
|
||||
|
||||
`◇A ≡ ~□~A`
|
||||
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
|
||||
|
||||
הבקבוק ריק (p)
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
הבקבוק לא יכול להיות מלא.
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
זה נשמע כמו `□~q`, `~◇q`
|
||||
|
||||
אבל **ההכרח חל רק על הקשר!** - לא על הרישא ולא על הסיפא!
|
||||
|
||||
ההצרנה הנכונה היא:
|
||||
|
||||
□(p -> ~q)[^2]
|
||||
|
||||
|
||||
בנוגע לתכונות, יש תכונות מהותיות ותכונות לא מהותיות, שחשוב להבדיל ביניהן. אם ניקח ממני את התכונה של יד, עדיין אהיה אני, מצער ככל שהדבר יהיה - אם ניקח ממני את התכונה של ראש, כנראה שלא.
|
||||
|
||||
## מודרנית
|
||||
|
||||
לוגיקה מודאלית מודרנית מתחילה עם פסוקים. נחזור לדוגמה שלנו.
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
|
||||
|
||||
הבקבוק ריק (p)
|
||||
|
||||
□(p -> ~q)
|
||||
|
||||
עדיין מרגיש לנו שמסתתר כאן מודוס פוננס. איך נניח הנחות חזקות יותר כדי להנביע אותו? הדוגמה עם הבקבוק מפספסת.
|
||||
|
||||
!!! info ""
|
||||
בהכרח האפיפיור רווק (P)
|
||||
בהכרח: אם האפיפיור רווק אז הוא לא נשוי (Q)
|
||||
---
|
||||
בהכרח: האפיפיור לא נשוי
|
||||
|
||||
משמע:
|
||||
□P
|
||||
|
||||
□(P -> ~Q)
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
□~Q
|
||||
|
||||
|
||||
איך נגיע לזה? אקסיומה נוספת - **אקסיומה K**[^3]
|
||||
|
||||
### מערכת K
|
||||
|
||||
!!! info "אקסיומה K"
|
||||
|
||||
□ (Α -> Β) -> ( □Α -> □Β )
|
||||
|
||||
אם בהכרח (A אז B), אז (אם A בהכרח אז B בהכרח)
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
האקסיומה ניצבת בבסיס **מערכת K ללוגיקה מודאלית**, שלה שלושה מרכיבים:
|
||||
|
||||
1. האקסיומות וכללי ההיסק של תחשיב הפסוקים (CL)
|
||||
2. אקסיומה K
|
||||
3. כלל ההיסק Necessitation (*הכרחה?*) - Α -\> □Α
|
||||
- מוגבל **אך ורק לגזירות בלי הנחות**
|
||||
|
||||
### מערכת T
|
||||
|
||||
1. CL
|
||||
2. K
|
||||
3. Nec.
|
||||
4. אקסיומה T:
|
||||
|
||||
□Α -> Α
|
||||
|
||||
|
||||
### מערכת D
|
||||
|
||||
בהקשרים אתיים, יש את **מושג החובה** - שהוא גם מושג של *הכרח*. במושג הזה, *לא נכון* ש□A -> A!
|
||||
|
||||
(יש חובה להתנהג באופן מסוים - היא הכרחית - אבל ייתכן שלא ממלאים אותה!)
|
||||
|
||||
|
||||
בהקשרים אתיים, אנחנו צריכים אפוא חלופה לT.
|
||||
|
||||
□A -> ◇A
|
||||
|
||||
כלומר, **אם חובה שA, *אפשר* שA**.
|
||||
|
||||
זוהי מערכת D, מלשון *דאונטית*.
|
||||
|
||||
יש גם מובן עמוק יותר למושג החובה - שנוי במחלוקת:
|
||||
|
||||
□(□A -> A)
|
||||
|
||||
כלומר, אם יש חובה, חובה לקיים אותה.
|
||||
|
||||
|
||||
### כפילויות?
|
||||
|
||||
ומה נעשה עם דברים כמו:
|
||||
|
||||
□□A
|
||||
|
||||
□◇A
|
||||
|
||||
◇◇A
|
||||
|
||||
וכו' וכו'?
|
||||
|
||||
אנחנו רוצים לוותר על הכפילויות, **בלי להגיע** לאקסיומה:
|
||||
|
||||
A -> □A
|
||||
#### מערכת S4
|
||||
|
||||
הפתרון הוא **אקסיומה S4**:
|
||||
|
||||
□A -> □□A
|
||||
|
||||
בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים.
|
||||
|
||||
1. T
|
||||
2. אקסיומה S4.
|
||||
3. עובדות S4:
|
||||
|
||||
1. □A ≡ □□A
|
||||
|
||||
2. ◇A ≡ ◇◇A
|
||||
|
||||
3. □◇□◇A ≡ □◇A
|
||||
|
||||
4. ◇□◇□A ≡ ◇□A
|
||||
|
||||
|
||||
משתמשים במערכת S4 בהקשרים אפיסטמיים - *אם אני יודע משהו אני יודע שאני יודע משהו*.
|
||||
|
||||
#### מערכת S5
|
||||
|
||||
ביטויים כמו
|
||||
□◇A
|
||||
|
||||
◇□A
|
||||
עדיין מעצבנים.
|
||||
|
||||
הפתרון הוא **מערכת S5**:
|
||||
|
||||
1. T
|
||||
2.
|
||||
◇A -> □◇A
|
||||
|
||||
עובדות בS5:
|
||||
|
||||
a.
|
||||
|
||||
◇A ≡ □◇A
|
||||
|
||||
b.
|
||||
|
||||
□A ≡ ◇□A
|
||||
|
||||
c.
|
||||
|
||||
⊢(s5) □A -> □□A
|
||||
כלומר, אקסיומה S4 יכיחה בS5.
|
||||
|
||||
|
||||
### מערכת B
|
||||
|
||||
1. מערכת T
|
||||
2.
|
||||
|
||||
Α -> □◇A
|
||||
|
||||
עובדה: B יכיחה בS5. למה? בגלל ש
|
||||
Α -> ◇A
|
||||
|
||||
יכיח בT.
|
||||
|
||||
לכן,
|
||||
|
||||
◇A -> □◇A
|
||||
|
||||
|
||||
לכן אפשר להוכיח
|
||||
|
||||
A -> □◇A
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
## אבל רגע, S5
|
||||
|
||||
S5 היא החזקה בכל המערכות.
|
||||
|
||||
בפילוספיה מקובל לחשוב שS5 היא זו שתופסת את מושג ההכרח **המטאפיזי**.
|
||||
|
||||
|
||||
### סמנטיקה
|
||||
|
||||
**רודולף קארנפ**, מה[פוזיטיביסטים הלוגיים](/פילוסופיה/לשון/פוזיטיבים) כתב ב1948 את *Μeaning & Necessity*.
|
||||
|
||||
נבחן פסוק כמו -
|
||||
|
||||
|
||||
> רווק הוא גבר לא נשוי
|
||||
|
||||
|
||||
למה זה עובד? זה לא נכון כי עשינו תצפית וראינו שכל הרווקים לא נשויים; זה נכון כי זו ההגדרה הלשונית. **המובן** של רווק זה שהוא לא נשוי. מה זה אומר *המובן* של רווק? קרנפ גורר פנימה את מושג ההכרח. כלומר, אם אתה טוען שרווק הוא נשוי, אתה לא *טועה* - אתה *משנה את ההגדרה* - מדבר בשפה אחרת!
|
||||
|
||||
אם נגדיר רווק כA, זה לא ש□A אם ורק אם משהו - זה שA, בהיותו A הוא טאוטולוגיה.
|
||||
|
||||
| P | Q | R | PvQ | ~P | Pv~P | □P | ◇P |
|
||||
| --- | --- | --- | --- | --- | ---- | --- | --- |
|
||||
| T | T | T | T | F | T | F | T |
|
||||
| F | T | T | T | T | T | F | T |
|
||||
| T | F | T | T | F | T | F | T |
|
||||
| F | F | T | F | T | T | F | T |
|
||||
| T | T | F | T | F | T | F | T |
|
||||
| F | T | F | T | T | T | F | T |
|
||||
| T | F | F | T | F | T | F | T |
|
||||
| F | F | F | F | T | T | F | T |
|
||||
|
||||
כל שורה בטבלת האמת מייצגת **מצב עניינים**[^4], או **עולם אפשרי**[^5]. ביטוי שהוא טאוטולוגי הוא ביטוי שנכון בכל עולם אפשרי.
|
||||
|
||||
כלומר,
|
||||
|
||||
□A אמיתי אם בכל שורה A אמיתי
|
||||
|
||||
◇A אמיתי אם יש שורה שבה A אמיתי
|
||||
|
||||
!!! info "הגדרה"
|
||||
1. **מודל קרנפ** הוא שלישיה סדורה `<M = <M, @, V` כאשר
|
||||
2. @ `∈` W - העולם הממשי
|
||||
3. V פונקציית הערכה שנותנת ערך אמת לכל פסוק בשורה בטבלה `v(W,P) = הערך של P בעולם W`
|
||||
|
||||
1.
|
||||
|
||||
V(w, ~A) = T if v(w,A) = F
|
||||
|
||||
2.
|
||||
|
||||
v(w, A->B) if v(w,A) = F or v(w,B) = T
|
||||
|
||||
3.
|
||||
|
||||
v(w, □A) if in every line w` ∈ W
|
||||
|
||||
v(w`, A) = T
|
||||
|
||||
4.
|
||||
|
||||
v(W, ◇A) = T if there is w` ∈ W
|
||||
|
||||
v(w`,A) = T
|
||||
|
||||
נאמר שפסוק A תקף-קרנפ אם לכל מודל M לכל עולם אפשרי w ∈ W
|
||||
|
||||
v(w,A) = T
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
הרעיון הבסיסי הוא **טבלאות אמת** - עם תנאי אמת עבור ביטויי אפשרות והכרח.
|
||||
|
||||
כל שורה בטבלת האמת מייצגת "מודל" - מצב עניינים, או עולם אפשרי.
|
||||
|
||||
|
||||
הבעיה היא ש:
|
||||
|
||||
- כל האקסיומות תקפות קארנפ
|
||||
- לא S5 - עבור P אטומי P◇ טאואולוגיה (כלומר, כל פסוק שנציב כאן יהיה טאוטולוגיה!)
|
||||
- חמור יותר - נציב Q וגם לא Q במקום P - ◇(Q & ~Q) - אבל זה **לא** תקף קארנפ!
|
||||
|
||||
את 2 ו3 אפשר לתקן באמצעות מחיקת שורות בטבלת האמת:
|
||||
נניח וP - יורד גשם, Q - יש עננים
|
||||
|
||||
|
||||
| P | Q |
|
||||
| ----- | ----- |
|
||||
| T | T |
|
||||
| F | T |
|
||||
| **T** | **F** |
|
||||
| F | F |
|
||||
|
||||
אחד המצבים (יש גשם ואין עננים) לא אפשרי! אז מחקנו את השורה שלו מטבלת האמת:
|
||||
|
||||
| P | Q |
|
||||
| --------- | --------- |
|
||||
| T | T |
|
||||
| F | T |
|
||||
| ~~**T**~~ | ~~**F**~~ |
|
||||
| F | F |
|
||||
זה שהתרחיש שם *קומבינטרית* לא אומר שהוא אפשרי - ולכן אנחנו מוחקים אותו.
|
||||
|
||||
השאלה *איזה שורות אני מוחק* תלויה בנקודת הפתיחה שלי (אני מדבר על גשם, אני בבאר שבע, וכו').
|
||||
|
||||
מההגדרה של קארנפ נובע:
|
||||
|
||||
```
|
||||
v(W,~A) = T if v(W,A) = F
|
||||
v(W, A->B) = T if (v(W,A) = F or v(W,B) = F)
|
||||
v(W,□A) = T if for ALL w`∈W v(w`,A) = T
|
||||
```
|
||||
|
||||
אבל את הבעיה האחרונה לא הצליח קארנפ לפתור, ונשלח לתהום הנשייה. ואז, הגיע [קריפקה](./קריפקה).
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
[^1]: לפי אריסטו, יש רק דבר אחד כזה, והוא האל.
|
||||
[^2]: זהו כשל לוגי נפוץ אצלנו - אנחנו נוטים לחשוב על משפטי תנאי (אם ככה אז ככה) כהכרחיים, כמו בהצרנה הזו - כשלמעשה יש הרבה מקרים שיש תנאי בלי ההכרח (A -> B) ולא □(A -> B).
|
||||
[^3]: על שם קריפקי.
|
||||
[^4]: מ[ויטגנשטיין](/פילוסופיה/לשון/ויטגנשטיין).
|
||||
[^5]: מ[לייבניץ](/פילוסופיה/חדשה/לייבניץ).
|
||||
176
פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md
Normal file
176
פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md
Normal file
@@ -0,0 +1,176 @@
|
||||
title: מודלי קריפקה
|
||||
|
||||
|
||||
סול קריפקה היה מגדולי הלוגיקנים בכל הזמנים. תרומתו הגדולה, אולי הגדולה ביותר, הגיעה בגיל 15.
|
||||
|
||||
רע לובש ז'קט. האם *אפשרי* עבורו לפשוט אותו? כן. רע פושט את הז'קט. האם *עכשיו* אפשרי עבורו לפשוט את הז'קט? *לא*; קריפקה אומר שאפשרות הוא מושג **יחסי**.
|
||||
|
||||
```
|
||||
P = Wearing a jacket
|
||||
Q - Taking of the jacket
|
||||
|
||||
Situaion 1: Wearing the jacket
|
||||
P = T
|
||||
Q = F
|
||||
|
||||
◇Q = T
|
||||
|
||||
Situation 2:
|
||||
P = F
|
||||
Q = T
|
||||
|
||||
◇Q = F
|
||||
|
||||
```
|
||||
|
||||
כלומר, מצב 2 **נגיש** (accessible) ממצב 1, אבל לא כל הדברים ממצב 1 נגישים ממצב 2.
|
||||
|
||||
!!! info "הגדרה"
|
||||
**מודל קריפקה** הוא רביעיה סדורה:
|
||||
`Μ = <W, @, v, R>`
|
||||
(הוספנו `R`) כאשר:
|
||||
|
||||
W - קבוצה של עולמות אפשריים
|
||||
|
||||
@ ∈ W - העולם הממשי
|
||||
|
||||
R - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים:
|
||||
|
||||
wRw - W נגיש ל W
|
||||
|
||||
V - פונקציית הערכה.
|
||||
|
||||
v(w,P) - הערך של P בעולם W.
|
||||
|
||||
v(W, ~A), v(W, A-> B) - כמו במודלי קארנפ
|
||||
|
||||
v(w,□A) = T אם לכל w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T
|
||||
|
||||
v(w,◇A) = T אם יש w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T
|
||||
|
||||
|
||||
לכל מודל קריפקה M:
|
||||
`M ⊨ □ (A -> B) -> (□A -> □B)` (אקסיומה K)
|
||||
כלומר,
|
||||
|
||||
`v(@,K) = T`
|
||||
|
||||
הוכחה:
|
||||
|
||||
נניח בשלילה שיש מודל M כך ש `Μ ⊭ Κ`
|
||||
|
||||
כלומר,
|
||||
`v(@,K) = F`
|
||||
|
||||
לכן,
|
||||
|
||||
```
|
||||
v(@, □(Α -> Β)) = Τ
|
||||
v(@, □Α -> □Β) = F
|
||||
```
|
||||
|
||||
1. נתון `v(@, □( Α -> Β)) = Τ` ולכן לכל `w∈ W` כך ש `@Rw`
|
||||
|
||||
`v(w, A-> B) = T`
|
||||
כלומר, בעולם @, A הכרחי
|
||||
|
||||
2. נתון `v(w, □A) = T` ולכן לכל `w∈ W` כך ש `@Rw`:
|
||||
|
||||
`v(w, B) = T`
|
||||
|
||||
כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי
|
||||
|
||||
|
||||
מ1 ו2 נובע:
|
||||
|
||||
`v(@, □B) = T`
|
||||
**בסתירה להנחה**.
|
||||
|
||||
## יחסי נגישות
|
||||
|
||||
הנגישות של העולמות במודלי קריפקה מתחלקת לכמה סוגי יחסים:
|
||||
|
||||
- **רפלקסיביים** - כל עולם יכול לגשת לעצמו.
|
||||
|
||||
∀w∈W,wRw
|
||||
כלומר, אם `□Α`, אז A אמיתי בעולם הממשי.
|
||||
|
||||
|
||||
- **טרנזיטיביים** - אם `w1` יכול לראות את `w2` ו`w2` יכול לראות את `w3` אזי `w1` יכול לראות את `w3`
|
||||
|
||||
∀w1, w2, w3∈W ,(w1Rw2 ∧ w2Rw3) -> w1Rw3
|
||||
|
||||
כלומר, אם `□Α`, אז A אמיתי בכל העולמות הנגישים, לרבות העולם הממשי.
|
||||
|
||||
|
||||
- **סימטריים** - אם `w1` יכול לראות את `w2` אז `w2` יכול לראות את `w1`.
|
||||
|
||||
∀w1,w2∈W,w1Rw2⟹w2Rw1
|
||||
כלומר, כל העולמות נגישים האחד לשני
|
||||
|
||||
- **סדרתיים** - כל עולם יכול לגשת לפחות לעולם אחד נוסף (s.t[^1]).
|
||||
|
||||
∀w∈W,∃v∈W s.t. wRv
|
||||
|
||||
---
|
||||
!!! info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **רפלקסיבי** מתקיים: `Μ ⊨ Τ`
|
||||
|
||||
|
||||
(כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי)
|
||||
|
||||
|
||||
!!! info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סדרתי** מתקיים: `Μ ⊨ D`
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
!!! info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **טרנזיטיבי** מתקיים `M ⊨ S4` (האקסיומה, לא המערכת).
|
||||
|
||||
|
||||
!!! info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סימטרי** מתקיים `M ⊨ B`
|
||||
|
||||
`Β: Α-> □◇Α`
|
||||
|
||||
|
||||
!!! info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות יהיה **סימטרי** ו**טרנזיטיבי** מתקיים
|
||||
|
||||
`Μ ⊨ ◇Α -> □◇Α`
|
||||
|
||||
|
||||
## מסגרת
|
||||
|
||||
ומה לגבי מודל שיש בו עולם יחיד, שבו A=T? האם
|
||||
`□Α -> Α`
|
||||
?
|
||||
|
||||
!!! info "הגדרה"
|
||||
מסגרת C היא קבוצה של מודלי קריפקה שחולקים את אותם עולמות אפשריים ואותו יחס נגישות.
|
||||
|
||||
לעיתים נסמן:
|
||||
|
||||
C = <W,R>
|
||||
|
||||
## משפטי השלמות של קריפקה
|
||||
|
||||
I.F.F[^2]
|
||||
|
||||
⊨(K)A Ι.f.f ⊢(K)A
|
||||
|
||||
⊨(serial)A Ι.f.f ⊢(D)A
|
||||
|
||||
⊨(ref + trans)A Ι.f.f ⊢(S4)A
|
||||
|
||||
⊨(Sym)A Ι.f.f ⊢(b)A
|
||||
|
||||
⊨(equiv)A Ι.f.f ⊢(S5)A
|
||||
|
||||
|
||||
המשפטים האלו הם מה שהפכו את קריפקה לקריפקה, והם נאותים ושלמים.
|
||||
|
||||
|
||||
[^1]: כך ש
|
||||
[^2]: אם ורק אם
|
||||
Reference in New Issue
Block a user