vault backup: 2024-12-05 13:17:37

פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md

@@ -0,0 +1,588 @@
+title: לוגיקה מתקדמת
+
+!!! info "חומר הקורס"
+	[מודל](https://moodle.bgu.ac.il/moodle/course/view.php?id=55543), [סילבוס](https://moodle.bgu.ac.il/moodle/mod/resource/view.php?id=2865244)
+
+
+## מושגי יסוד
+
+למדנו ב[לוגיקה](/פילוסופיה/לוגיקה) ש -
+
+**טענות** - אמירות שניתן לקבוע כאמת או שקר 
+
+**טיעון** - אוסף של טענות ומסקנה
+
+**תקפות** - *אם כל ההנחות אמיתיות, המסקנה בהכרח אמיתית*
+
+
+אבל בעצם, *לא נכון*[^1].
+
+העקרונות, ההצרנות, והכללים הללו *פשוט לא תופסים* את הדרך שבה אנחנו חושבים ברוב המקרים.
+
+אולי אם נפתח את הכלים הלוגיים הללו, נוכל ללכוד בצורה טובה יותר את האופן שבו אנחנו חושבים.
+
+### למה זה לא עובד?
+
+#### הכרח
+
+נניח ויש לי כאן בקבוק. הוא יכול להיות מלא, או ריק.
+
+!!! info ""
+	1. אם הבקבוק מלא, אז הוא **בהכרח** לא ריק
+	2. הבקבוק מלא
+	3. הבקבוק **בהכרח** לא ריק	
+
+```
+1. F > E
+2. F
+3. ~E
+```
+
+האמנם? אם הבקבוק מלא יש *הכרח* מטאפיזי שהוא יהיה לא ריק? הבקבוק לעולם לא יכול להיות ריק, כחוק טבע? כנראה שלא - הבקבוק *יכול* להיות ריק[^2].
+
+ואיפה הבעיה? המילה **בהכרח**.
+
+האם נוכל לוותר בהכרח? בפילוספיה, כנראה שלא. זכרו את ההגדרה של תקפות - אם הטיעון תקף, המסקנה *בהכרח* אמיתית. 
+
+הלוגיקה שלמדנו עד כה לא יודעת לאכול את עניין ה*הכרח*. מה עושים? זה הרבה יותר מורכב ממה שנדמה לנו - חלק מהבעיות האלו היו פתוחות עשורים שלמים!
+
+#### תנאי
+
+!!! info ""
+	אם יש יותר מ70 אנשים בחדר הזה, אז יורד גשם
+
+
+לפני ששטפו לנו את המוח בתואר, כולנו הבנו שזה לא נכון. אבל מבחינה לוגית, זה תקף, וכולנו החלטנו שזה דווקא כן נכון. 
+
+| A   | B   | A > B |
+| --- | --- | ----- |
+| T   | T   | T     |
+| F   | T   | T     |
+| T   | F   | F     |
+| F   | F   | T     |
+ 
+אבל ברור לנו שזה לא נכון - חייב להיות איזשהו קשר *תוכני* בין הטענות, בלי קשר למה שאומרת טבלת האמת. יש סיבות לכך שדרשנו את זה, אבל עדיין יש כאן בעיה.
+
+#### משפטי תנאי נוגדי מציאות
+
+!!! info ""
+	אם טראמפ לא היה מנצח את מערכת הבחירות, אז בוש היה מנצח.
+
+אמיתי? לא. בוש לא התמודד מול טראמפ. אבל - 
+!!! info ""
+	אם טראמפ לא היה מנצח את מערכת הבחירות, אז האריס הייתה מנצחת.
+
+לוגית, המבנה זהה. אבל אחד נוגד מציאות והשני לא - ואנחנו מדברים ככה כל הזמן; איך נפלה ביניהם בכלים לוגיים?
+
+!!! success ""
+	לדוגמאות נוספות - [Vann McGee's Counterexample to Modus Ponens](https://www.jstor.org/stable/4320663)
+
+
+#### מסתירה נובע כל דבר
+
+*אם ההנחות נכונות, אז המסקנה בהכרח אמיתית*. אם ההנחה שלי נכונה, המסקנה *לא יכולה לסתור אותה*. אז מסתירות נובע כל דבר[^3], אחלה. אבל, *לא נכון* - אנחנו לא חושבים ככה; חייב להיות קשר תוכני!
+
+#### תואר הפועל
+
+!!! info ""
+	1. יוסי רץ במהירות
+	2. יוסי רץ
+
+```
+1. Qy
+2. Ry
+```
+
+מפרדיקט אחד נובע פרידקט אחר - מבחינת הלוגיקה, זה **לא נכון**, אבל *ברור* שאם יוסי רץ במהירות, יוסי רץ; אנחנו מסיקים ככה כל הזמן, ובצדק.
+
+#### הקשרים מכוונים
+<small>קונטסקטים אינטציונליים</small>
+
+```
+a = b
+pa
+---
+pb
+```
+
+!!! info ""
+	1. טראמפ יודע שהמורה בקורס בלוגיקה הוא המורה בקורס בלוגיקה
+	2. מורה הקורס בלוגיקה הוא אני (רע גולן)
+	3. טראמפ יודע שהמורה בקורס בלוגיקה הוא רע גולן
+
+מממ, לא. 
+
+![Trump](/פילוסופיה/לוגיקה/trump.jpg)
+<small>טראמפ לומד לוגיקה (בינה מלאכותית). לא סביר.</small>
+
+
+
+אי אפשר לוותר על הקשרים מכוונים כמו *יודע ש*, *מאמין ש*, וכדומה. אבל ברגע שגוררים אותם פנימה, הלוגיקה מתפרקת.
+
+אנחנו אמנם טועים לפעמים, אבל רוב ההיסקים שלנו - כמו שטראמפ לא מכיר את המרצה שלנו ללוגיקה - הם נכונים; איך אפשר ליישב את הלוגיקה עם החשיבה שלנו?
+
+#### כימות
+
+!!! info ""
+	פגסוס הוא סוס מכונף
+	יש דבר כזה שהוא מכונף
+
+```
+Wp
+∃xWx
+```
+
+
+פגסוס הוא סוס עם כנפיים. אבל פגסוס לא קיים. אבל יש דבר מכונף. אז אנחנו מסכימים שפגסוס קיים אבל לא קיים. יש כל מיני [פתרונות מוצעים](/פילוסופיה/לשון/ראסל#האובייקט-הריק-של-מיינונג), אבל הם מצדיקים את השם הרע שיוצא לפילוסופיה. 
+
+הפתרון כרוך בהקשר - ברור לנו שפגסוס אמיתי במובן שהוא דבר שיש בראש שלנו, אבל לא *באמת* קיים בחוץ בעולם. אבל כמו שראינו, ברגע שנכנס הקשר, הלוגיקה מתפרקת.
+
+#### נוגדי-אפשרות
+<small>Counterpossibles</small>
+
+!!! info ""
+	אם הייתי מוצא דוגמה נגדית למשפט האחרון של פרמה, הייתי מפורסם.
+
+זה משפט אמיתי. אבל
+
+!!! info ""
+	אם הייתי מוצא דוגמה נגדית למשפט האחרון של פרמה, הירח היה עשוי מגבינה
+
+המשפט האחרון לא רק שקרי - *הוא לא יכול להיות נכון לעולם*; אין שום אפשרות כזו - היא נוגדת את חוקי הפיזיקה.
+
+
+#### דו-ערכיות
+
+אריסטו נותן לנו דוגמה - 
+
+!!! info ""
+	מחר יתקיים קרב ימי
+
+אנחנו לא יודעים אם מחר יתקיים קרב ימי. אנחנו מניחים שיש לו ערך אמת - כמו שלכל פסוק יש ערך אמת. אבל בעצם יש פה השלכה מטאפיזית מזעזעת - 
+
+<big><bold>דטרמיניזם</bold></big>
+
+
+רגע, *מה*? זה שזה נכון או לא נכון זה עיקרון סמנטי - אבל ש*זה* יגרור עיקרון מטאפיזי, כאילו 
+אמיתותו של הקרב הימי *כבר* קבועה מראש?
+
+
+יש גם את העניין של *מחר*. הלוגיקה שלנו צריכה לדעת "לאכול" היבטים טמפורליים - בזמן. אין חיה כזו בינתיים.
+
+![קרב ימי](/פילוסופיה/לוגיקה/battle.jpg)
+<small>קרב ימי. יתקיים מחר?</small>
+
+#### פרדוקסיים סמנטיים
+
+**פרדוקס סמנטי** הוא פרדוקס שקשור במונחי אמת, שקר, הוראה וכדומה. למשל - 
+
+!!! warning "המשפט הזה הוא שקר."
+
+אם המשפט הזה אמיתי, אז הוא שקרי, אז הוא אמיתי...
+
+זו *צרה צרורה*, אומר רע בדרמטיות, *קטסטרופה* - לא להאמין כמה קשה להיפטר מהדבר הזה.
+
+מה שלכאורה עולה מ**פרדוקס השקרן** הזה הוא שיש בעיה בערכי האמת שאנחנו מניחים - אמת ושקר - שמוציאים אחד את השני. מושג ה*אמת* נשמע מאוד מאוד חשוב; האתגר כאן הוא להציל את מושג האמת מסתירות ופרדוקסים - באמצעות תיאור הולם. 
+
+### תורת הקבוצות
+
+**תורת הקבוצות** היא תורה מתמטית שפיתח המתמטיקאי הגרמני [גאורג קאנטור](https://en.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor). 
+
+**קבוצה** היא אוסף של איברים. 
+
+#### סימון 
+
+נסמן קבוצה באות גדולה, ונמנה את האיברים בסוגריים מסולסלים.
+
+**פינגווינים**
+{ קיסרי, ג'נטו, אדלי ... } = P
+
+איברים יהיו אותיות קטנות באנגלית - 
+
+**P**
+{e, g, a}
+
+#### שייכות
+ושייכות בסימן השייכות - 
+
+`e ∈ P`
+
+!!! warning ""
+	קבוצות יהיו שוות אם ורק אם כל האיברים זהים - נאמר שA=P אם ורק אם לכל a:
+	`a ∈ A = a ∈ P`
+
+זוהי טענה חשובה פילוסופית!
+
+#### חלקיות
+
+A ⊆ P אם לכל a:
+
+`אם a ∈ B אז a ∈ P`
+
+נאמר שA **חלקי ממש** לP אם `A ⊆ P` *וגם* יש `a ∈ P` כך ש `a ∉ A`
+
+#### כלליות
+
+לפעמים נצא מנקודת ההנחה (הבעייתית!) שיש קבוצה אוניברסלית U - כלומר, הקבוצה של כל האיברים באשר הם.
+
+#### קבוצה משלימה
+
+עבור קבוצה שכוללת את כל האיברים *שאינם* שייכים לקבוצה, נגיד שהיא קבוצה *משלימה*. למשל, לא-פינגווינים - 
+
+`A = Pc`
+
+
+משמע A הוא כל מה שאינו פינגווינים.
+
+`Ac = { a | a ∉ A (a ∈ A)}`
+
+#### איחוד
+
+בהינתן A, P, נוכל לדבר על קבוצת האיחוד - פינגווינים ולא-פינגווינים - 
+
+`A ∪ P = { x | x ∈ A או x ∈ B }`
+
+#### חיתוך
+
+מנגד, קבוצת החיתוך היא מה שכוללת לא A ולא P (אם A היא קבוצת הסטודנטים - כל מה שלא סטודנט ולא פינגווין)
+
+`A ∩ B = { x | x ∈ A וגם x ∈ B }`
+
+#### קבוצה ריקה
+
+קבוצה בלי כלום.
+
+`Ø`
+
+#### חוקי דה-מורגן
+
+`(A ∪ B)^c^ ⊆ A^c∩B^c`
+
+זה מקביל לפסוק הבא מתחשיב הפסוקים:
+
+`∧~(p v q ) ≡ ~p ∧ ~q`
+
+`A^c ∩ B^c ⊆(A ∪ B)^c`
+
+(כאן הייתה הוכחה, אבל אני מאמין לרע)
+
+#### אבל למה?
+
+כי מתמטיקאים מאמינים שאובייקטים מתמטיים הם כולם קבוצות - דרך מסוימת לחשוב על הדברים. *מה הקשר?* זה מה שקאנטור הראה, אבל זה נוח גם לנו כפילוסופים - כל מה שיש במתמטיקה, מטאפיזית, הן קבוצות -  ולא צריך לריב על כל הישיים האחרים. 
+
+#### יחסים
+
+ביחסים, בניגוד לקבוצות, הסדר משנה - נסמן R כלהיות אבא של - 
+
+```
+R(b,a) 
+R(a,b)
+```
+
+מושיק אבא של איציק *ממש לא שווה* לאיציק אבא של מושיק.
+
+לכן היחס של R(b,a) הוא **זוג סדור**, שנסמן ב`<>`. כלומר, 
+
+```
+F(x,y) = {<a,b> | a הוא אבא של b}
+```
+
+נייצג את זה בתורת הקבוצות - 
+
+```
+<x,y> = ~{{x}, {x,y}}
+```
+
+
+אם `<a,b> = <c,d>`, אז `a=c, b=d`.
+
+
+!!! warning ""
+	אם a≠c אזי {a} ≠ {c}
+	אבל אז: {a} = { c,d }
+	אז בהכרח: a=c=d כי אלו קבוצות באותו הגודל
+	באופן דומה, b=d
+
+#### עקרון הקומפרהנציה
+
+על פניו, זהו רק שכתוב של תחשיב הפסוקים. הוא נושא את **עקרון הקופמרהנציזה** - *לכל תכונה P(x) יש קבוצה* - 
+
+{x | P(x)}
+
+
+[**ראסל**](/פילוסופיה/לשון/ראסל) זיהה בעייה. דמיינו שיש קבוצת ספלי תה[^4]. הקבוצה המשלימה - לא-ספלי-תה - אינה ספל תה, ולכן שייכת לעצמה.
+
+
+```
+R
+
+R = {x | x ∉ X}
+האם R ∈ R?
+```
+
+
+הדבר הזה מתנהג כמו [פרדוקס השקרן](#פרדוקסיים-סמנטיים), ובגללו תורת הקבוצות מורכבת בהרבה היום.
+
+!!! warning "הערה על סוגים של יחסים"
+	כזכור, יחס R הוא קבוצה של זוגות סדורים:
+	
+	`R = { <x,y> | x עומד ביחס Y עם R}`
+	
+	אפשר לחשוב על זה שכל הפריטים בR עומדים באותו יחס אחד עם השני.
+	למשל, *קרוב ל...* - אם Y קרוב לR וX קרוב לR אז X קרוב לY.
+
+	במצב כזה, היחס יהיה יחס **סימטרי**:
+	
+	אם `xRy -> yRx`
+
+	 מצב נוסף הוא יחס **רפלקסיבי** אם לכל X:
+	 
+	  `xRX`
+
+	- יחס R ייקרא **טרנזיטיבי** אם לכל x,y,z: 
+	
+	`אם xRy וגם yRz אז xRz`
+
+	(אם אני שוקל יותר מכלב, וכלב שוקל יותר מפינגווין, אני שוקל יותר מפינגווין).
+
+	יחס R ייקרא **סדרתי** אם לכל x יש y:
+	
+	`xRy`
+
+	(לכל מישהו יש מישהו שאוהב אותו, לכל ילד יש הורים).
+
+	זה האקדח במערכה הראשונה. נחזור לזה.
+
+
+## תחשיב הפסוקים (כפי שמעולם לא הכרתם אותו)
+
+רגע, כבר למדנו [תחשיב הפסוקים](/פילוסופיה/לוגיקה/פסוקים). למה חוזרים לזה עכשיו?
+
+בתחשיב יש *מלא* כללים. מי זוכר את כל זה? אולי זה חוטא ל[תער של אוקאם](/פילוסופיה/דת/חובה#התער-של-אוקאם), ואפשר לפשט את זה?
+
+אנחנו למדנו **דדוקציה טבעית**. למרבה הצער, אנחנו עדיין *לא* יודעים לעשות לוגיקה מודאלית (קרי: מתקדמת) בדדוקציה טבעית, אלא במערכת אחרת - **מערכת הילברט**, או **אקסיומטית**. 
+
+החדשות הטובות הן שאנחנו כבר יודעים את הלוגיקה, ויהיו לשיטה החדשה רק ארבע עקרונות. החדשות הרעות הם שהם נבזיים. החדשות הטובות שוב הן שאנחנו נרמה.
+
+
+### מרכיבי מערכת אקסיומטית
+
+1. כללי היסק
+
+	אלו החברים שאנחנו מכירים - מודוס פוננס וחבריו 
+	```
+	A -> B
+	A
+	---
+	B
+	```
+
+
+3. אקסיומות
+	
+	אמיתות בסיסיות שאפשר לכתוב בכל שלב בגזירה פורמאלית.
+
+	שלושת האקסיומות שלנו יהיו כאלו:
+```
+1. A -> ( B -> A )
+2. ( A -> ( B -> C )) -> (( A -> B ) -> (A -> C))
+3. ( ~B -> ~A ) -> ( A -> B )
+```
+
+!!! info ""
+	למה זה נכון? ככה! זה עובד; אלו טאוטולוגיות. זה הרבה פחות אינטואיטיבי מדדוקציה טבעית, אבל זה תופס - תסמכו על רע. 
+
+אלו לא לגמרי אקסיומות - הן יותר כמו *סכמות*.
+
+!!! success "[העשרה - Relevance Logic](https://plato.stanford.edu/entries/logic-relevance/)"
+
+### גזירות פורמאליות
+
+!!! danger "עכשיו השלב המגעיל!"
+
+נוכיח ש`A->A` ללא הנחות:
+
+```
+# B = A -> A
+1. A -> ((A -> A) -> A)                                     #Axiom 1
+2. ( A-> (( A -> A) -> A)) -> (A -> (A -> A)) -> (A -> A) ) #Axiom 2
+3. ( A -> ( A -> A) ) -> (A -> A)                           #MP 1,2
+4. A -> (A -> A)                                            #Axiom 1
+5. A -> A                                                   #MP 3,4
+```
+
+
+אבל רגע. מה זה בכלל גזירה פורמאלית?
+
+!!! info "גזירה פורמאלית"
+	נאמר שפסוק A גזיר\יכיח **מקבוצת** הנחות Γ במערכת הילברט ( Γ |-[^5] A) אם יש גזירה פורמלית - סדרת פסוקים מהצורה `A1, A2, A3...` כך שלכל פסוק `Ai` בסדרה אחת מהאפשרויות הבאות נכונה:
+	
+	1. `Ai` הוא אקסיומה
+	2. `Ai` הוא הנחה
+	3. `Ai` התקבל על ידי מודוס פוננס על שורות קודמות
+
+
+דוגמה נוספת - `A, ~A |- B` (*מסתירה נובע כל דבר*)
+
+```
+1. ~A                      #Assumption
+2. ~A -> (~B -> ~A)        #Axiom 1
+3. ~B -> ~A                # Modus Ponens 1,2
+4. (~B -> ~A) -> (A -> B)  #Axiom 3
+5. A -> B                  #MP 3,4
+6. A                       #Assumption
+7. B                       #MP 5,6
+```
+
+
+!!! success "עכשיו קיצורי דרך!"
+
+
+## משפט הדדוקציה
+
+!!! info "משפט הדדוקציה"
+	`Γ  ∪ {A} ⊢ B` אם ורק אם `Γ ⊢ A-> B`
+
+דוגמה:
+
+`A ⊢ A` ולכן לפי משפט הדדוקציה
+` ⊢ A -> A`
+
+
+דוגמה שנייה: נוכיח
+
+`{ A -> B, B -> C } |- A -> C`
+
+לפי משפט הדדוקציה מספיק להראות:
+
+`{ A-> B, B-> C, A} |- C`
+
+```
+1. A      #Assumption
+2. A -> B #Assumption
+3. B      #MP 1,2
+4. B -> C #Assumption
+5. C      # MP 3,4
+```
+
+
+למה משפט הדדוקציה נכון?
+
+בכיוון הראשון, נניח
+
+`Γ |- A-> B`
+
+לכן, גם
+
+`Γ ∪ {A} |- A -> B`
+
+כמו כן,
+
+`Γ ∪ {A} |- A`
+
+(זו הנחה).
+
+וע"י MP נקבל:
+
+`Γ ∪ {A} + B`
+
+כנדרש.
+
+בכיוון השני נתון
+
+`Γ ∪ {A} + B`
+
+ונוכיח
+`Γ |- A -> B`
+
+כבר הוכחנו ש `A, ~A |- B` - עכשיו נבנה הוכחה עבור 
+
+`~A |- A-> B`
+
+```
+1. ~A -> (A -> ~A)                              # Axiom 1
+2. ~A                                           # Assumption
+3. A -> ~A                                      # MP 1,2
+4. R                                            # Axiom 1 (marking)
+5. R -> (A -> R)                                # Axiom 1
+6. A -> R                                       # MP 4,5
+7. (A -> B) -> ((A -> ~A) -> (A -> (~B -> ~A))  # Axiom 2
+8. (A -> ~A) -> (A -> (~B -> A))                # MP
+9. A -> ~A                                      # 3.
+10. A -> (~B -> ~A)                             # MP
+```
+
+
+וכו' וכו'.
+
+## משפט השלילה
+
+!!! info "משפט השלילה"
+	אם `Γ ∪ {~A}` לא עקבית (מגיעה לסתירה), אז `Γ |- A`.
+
+נראה ש: 
+`~~A |- A`
+
+לפי משפט ההוכחה בשלילה, מספיק להראות שהקבוצה `{~~A, ~A}` לא עקבית. וזה ברור.
+
+**הוכחת משפט ההוכחה בשלילה**: 
+
+נניח `Γ ∪ {~A}` לא עקבית - כלומר אפשר להוכיח ממנה כל פסוק.
+
+תהי P אקסיומה כלשהי. אזי: `Γ ∪ {~A} |- ~P`
+
+לפי משפט הדדוקציה:
+
+`Γ ∪ ~A -> ~P`
+
+כמו כן:
+
+`Γ |- (~A -> P) -> (P -> A)` (אקסיומה 3)
+
+MP:
+
+`Γ |- P -> A`
+
+אבל
+
+`Γ |- P`
+
+ולכן MP נותן `Γ |- A` כמו שרצינו.
+
+### תחביר וסמנטיקה
+
+**תחביר** (סינטקס) הוא הכללים הטכניים שקובעים מהו פסוק וכן מתי אפשר להוכיח פסוק מסוים A מסט הנחות Γ (Γ |- A).
+
+**סמנטיקה** היא תורת משמעות. מבחינתו, משמעותו של פסוק היא תנאי האמת שלו - מתי הוא אמיתי ומתי הוא שקרי. אפשר לעשות זאת עם כלים כמו טבלאות אמת - 
+
+| A   | ~ A |
+| --- | --- |
+| T   | F   |
+| F   | T   |
+
+| A   | B   | A -> B |
+| --- | --- | ------ |
+| T   | T   | T      |
+| F   | T   | T      |
+| T   | F   | F      |
+| F   | F   | T      |
+
+
+טיעון מקבוצת הנחות  Γ למסקנה A תקף אם בטבלת האמת אין שורה בה כל איברי Γ אמיתיים אבל A שקרי.
+
+Γ |=[^6] A
+
+מערכת הוכחה תיקרא **נאותה** אם `Γ |- A` אז `Γ |= A`.
+
+לעומת זאת, מערכת הוכחה תיקרא **שלמה** אם `Γ |= A` אז  `Γ |- A`. זה לא דבר קל - זה אומר שאם טבלאות האמת תקינות (אין מצב שבו כל ההנחות נכונות והמסקנה שקרית), *בהכרח* תהיה הוכחה כזו במערכת, מורכבת ככל שתהיה.
+
+
+
+
+
+[^1]: ר' גם - [ויטגנשטיין](/פילוסופיה/דת/שפה#ויטגנשטיין).
+[^2]: זכרו, אנחנו לא מערבים כרגע זמן - אז אין דברים כמו *אם הבקבוק מלא עכשיו*...
+[^3]: ר' גם [חוק הסתירה האריסטותלי](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו/מטאפיזיקה#חוק-הסתירה).
+[^4]: ראסל היה בריטי.
+[^5]: סימן ה"יכיח" (בר הוכחה). המציא אותו [פרגה](/פילוסופיה/לשון/פרגה).
+[^6]: סימן ה"מוכח" (בדקנו את היכיח, והוא באמת הוכיח).