From c724922a49efb6aebd1f7ddb7fb5e5faa3e07479 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Matan Horovitz Date: Thu, 5 Dec 2024 13:17:37 +0200 Subject: [PATCH] vault backup: 2024-12-05 13:17:37 --- .obsidian/workspace.json | 29 +-- .../לוגיקה/{מתקדמת.md => מתקדמת/index.md} | 0 פילוסופיה/לוגיקה/{ => מתקדמת}/מודאלית.md | 103 +--------- פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md | 176 ++++++++++++++++++ 4 files changed, 185 insertions(+), 123 deletions(-) rename פילוסופיה/לוגיקה/{מתקדמת.md => מתקדמת/index.md} (100%) rename פילוסופיה/לוגיקה/{ => מתקדמת}/מודאלית.md (79%) create mode 100644 פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md diff --git a/.obsidian/workspace.json b/.obsidian/workspace.json index 10d864b9..4f26c63a 100644 --- a/.obsidian/workspace.json +++ b/.obsidian/workspace.json @@ -7,36 +7,21 @@ "id": "efc6f7063aa5a34a", "type": "tabs", "children": [ - { - "id": "97f544199938cd17", - "type": "leaf", - "state": { - "type": "markdown", - "state": { - "file": "פסיכולוגיה/אישיות/קליין.md", - "mode": "source", - "source": false - }, - "icon": "lucide-file", - "title": "קליין" - } - }, { "id": "6b5522020a0e6e78", "type": "leaf", "state": { "type": "markdown", "state": { - "file": "פילוסופיה/לוגיקה/מודאלית.md", + "file": "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md", "mode": "source", "source": false }, "icon": "lucide-file", - "title": "מודאלית" + "title": "קריפקה" } } - ], - "currentTab": 1 + ] } ], "direction": "vertical" @@ -181,6 +166,10 @@ }, "active": "6b5522020a0e6e78", "lastOpenFiles": [ + "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/מודאלית.md", + "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md", + "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md", + "פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת", "פסיכולוגיה/פסיכופתולוגיה/דיכאון.md", "פסיכולוגיה/אישיות/פסיכואנליטית.md", "פסיכולוגיה/אישיות/קליין.md", @@ -214,16 +203,12 @@ "פילוסופיה/חדשה/ניטשה/מעבר_לטוב_ולרוע.md", "פילוסופיה/חדשה/ניטשה/3-11.412_fykX.mp4.part", "פילוסופיה/חדשה/ניטשה/3-11.mp4", - "פילוסופיה/חדשה/ניטשה/10-11-1.oZrlTsPp.mp4.part", "פילוסופיה/חדשה/ניטשה/atom.jpg", "פילוסופיה/חדשה/לוק/index.md", "פילוסופיה/חדשה/קאנט/index.md", "פילוסופיה/חדשה/יום/index.md", "פילוסופיה/חדשה/הגל/index.md", "פילוסופיה/חדשה/דקארט/index.md", - "פילוסופיה/חדשה/דת.md", - "פילוסופיה/חדשה/ברקלי/index.md", - "פילוסופיה/חדשה/לייבניץ/index.md", "פסיכולוגיה/אינטיליגנציה/evolution.jpg", "favicon.png", "logo.png" diff --git a/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת.md b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md similarity index 100% rename from פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת.md rename to פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md diff --git a/פילוסופיה/לוגיקה/מודאלית.md b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/מודאלית.md similarity index 79% rename from פילוסופיה/לוגיקה/מודאלית.md rename to פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/מודאלית.md index f79fa7ba..53008dcd 100644 --- a/פילוסופיה/לוגיקה/מודאלית.md +++ b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/מודאלית.md @@ -1,4 +1,3 @@ -title: לוגיקה מודאלית **לוגיקה מודאלית** היא לוגיקה שעוסקת במונחי ה**אפשרות** (◇) וה**הכרח** (□) - מה שעוסקים בו ב[מטאפיזיקה](/פילוסופיה/מטאפיזיקה). @@ -336,111 +335,13 @@ v(W, A->B) = T if (v(W,A) = F or v(W,B) = F) v(W,□A) = T if for ALL w`∈W v(w`,A) = T ``` -אבל את הבעיה האחרונה לא הצליח קארנפ לפתור, ונשלח לתהום הנשייה. ואז, הגיע קריפקה. +אבל את הבעיה האחרונה לא הצליח קארנפ לפתור, ונשלח לתהום הנשייה. ואז, הגיע [קריפקה](./קריפקה). -### הסמנטיקה של קריפקה - -סול קריפקה היה מגדולי הלוגיקנים בכל הזמנים. תרומתו הגדולה, אולי הגדולה ביותר, הגיעה בגיל 15. - -רע לובש ז'קט. האם *אפשרי* עבורו לפשוט אותו? כן. רע פושט את הז'קט. האם *עכשיו* אפשרי עבורו לפשוט את הז'קט? *לא*; קריפקה אומר שאפשרות הוא מושג **יחסי**. - -``` -P = Wearing a jacket -Q - Taking of the jacket - -Situaion 1: Wearing the jacket -P = T -Q = F - -◇Q = T - -Situation 2: -P = F -Q = T - -◇Q = F - -``` - -כלומר, מצב 2 **נגיש** (accessible) ממצב 1, אבל לא כל הדברים ממצב 1 נגישים ממצב 2. - -!!! info "הגדרה" - **מודל קריפקה** הוא רביעיה `Μ = ` (הוספנו `R`) כאשר: - - W - קבוצה של עולמות אפשריים - - @ ∈ W - העולם הממשי - - R - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים: - - w\`Rw - W\` נגיש לW - - V - פונקציית הערכה. - - v(w,P) - הערך של P בעולם W. - - v(W, ~A), v(W, A-> B) - כמו במודלי קארנפ - - v(w,□A) = T אם לכל w\` ∈ W כך ש wRw\`: v(w\`,A) = T - - v(w,◇A) = T אם יש w\` ∈ W כך ש wRw\`: v(w\`,A) = T - - -לכל מודל קריפקה M: -`M ⊨ □ (A -> B) -> (□A -> □B)` (אקסיומה K) -כלומר, - -`v(@,K) = T` - -הוכחה: - -נניח בשלילה שיש מודל M כך ש `Μ ⊭ Κ` - -כלומר, -`v(@,K) = F` - -לכן, - -``` -v(@, □( Α -> Β)) = Τ -v(@, □Α -> □Β) = F -``` - - 1. `v(@, □( Α -> Β)) = Τ` ולכן לכל w∈ W כך ש @Rw: - - `v(w, A-> B) = T` - כלומר, בעולם @, A הכרחי - -2. `v(w, □A) = T` ולכן לכל w∈ W כך ש @Rw: - - `v(w, B) = T` - כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי - -מ1 ו2 נובע: - -v(@, □B) = T - בסתירה להנחה. - ---- -!!! info "הגדרה" - בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות רפלקסיבי מתקיים: `Μ ⊨ Τ` - - -(כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי) - - -!!! info "הגדרה" - בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות סדרתי מתקיים: `Μ ⊨ D` - - - -!!! info "הגדרה" - בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות טרנזיטיבי מתקיים `M ⊨S4` (האקסיומה, לא המערכת). - [^1]: לפי אריסטו, יש רק דבר אחד כזה, והוא האל. [^2]: זהו כשל לוגי נפוץ אצלנו - אנחנו נוטים לחשוב על משפטי תנאי (אם ככה אז ככה) כהכרחיים, כמו בהצרנה הזו - כשלמעשה יש הרבה מקרים שיש תנאי בלי ההכרח (A -> B) ולא □(A -> B). [^3]: על שם קריפקי. [^4]: מ[ויטגנשטיין](/פילוסופיה/לשון/ויטגנשטיין). -[^5]: מ[לייבניץ](/פילוסופיה/חדשה/לייבניץ). +[^5]: מ[לייבניץ](/פילוסופיה/חדשה/לייבניץ). \ No newline at end of file diff --git a/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md new file mode 100644 index 00000000..0f7d64f2 --- /dev/null +++ b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md @@ -0,0 +1,176 @@ +title: מודלי קריפקה + + +סול קריפקה היה מגדולי הלוגיקנים בכל הזמנים. תרומתו הגדולה, אולי הגדולה ביותר, הגיעה בגיל 15. + +רע לובש ז'קט. האם *אפשרי* עבורו לפשוט אותו? כן. רע פושט את הז'קט. האם *עכשיו* אפשרי עבורו לפשוט את הז'קט? *לא*; קריפקה אומר שאפשרות הוא מושג **יחסי**. + +``` +P = Wearing a jacket +Q - Taking of the jacket + +Situaion 1: Wearing the jacket +P = T +Q = F + +◇Q = T + +Situation 2: +P = F +Q = T + +◇Q = F + +``` + +כלומר, מצב 2 **נגיש** (accessible) ממצב 1, אבל לא כל הדברים ממצב 1 נגישים ממצב 2. + +!!! info "הגדרה" + **מודל קריפקה** הוא רביעיה סדורה: + `Μ = ` + (הוספנו `R`) כאשר: + + W - קבוצה של עולמות אפשריים + + @ ∈ W - העולם הממשי + + R - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים: + + wRw - W נגיש ל W + + V - פונקציית הערכה. + + v(w,P) - הערך של P בעולם W. + + v(W, ~A), v(W, A-> B) - כמו במודלי קארנפ + + v(w,□A) = T אם לכל w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T + + v(w,◇A) = T אם יש w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T + + +לכל מודל קריפקה M: +`M ⊨ □ (A -> B) -> (□A -> □B)` (אקסיומה K) +כלומר, + +`v(@,K) = T` + +הוכחה: + +נניח בשלילה שיש מודל M כך ש `Μ ⊭ Κ` + +כלומר, +`v(@,K) = F` + +לכן, + +``` +v(@, □(Α -> Β)) = Τ +v(@, □Α -> □Β) = F +``` + +1. נתון `v(@, □( Α -> Β)) = Τ` ולכן לכל `w∈ W` כך ש `@Rw` + + `v(w, A-> B) = T` + כלומר, בעולם @, A הכרחי + +2. נתון `v(w, □A) = T` ולכן לכל `w∈ W` כך ש `@Rw`: + + `v(w, B) = T` + + כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי + + +מ1 ו2 נובע: + +`v(@, □B) = T` +**בסתירה להנחה**. + +## יחסי נגישות + +הנגישות של העולמות במודלי קריפקה מתחלקת לכמה סוגי יחסים: + +- **רפלקסיביים** - כל עולם יכול לגשת לעצמו. + + ∀w∈W,wRw +כלומר, אם `□Α`, אז A אמיתי בעולם הממשי. + + +- **טרנזיטיביים** - אם `w1` יכול לראות את `w2` ו`w2` יכול לראות את `w3` אזי `w1` יכול לראות את `w3` + + ∀w1​, w2​, w3​∈W ,(w1​Rw2​ ∧ w2​Rw3​) -> w1​Rw3​ + +כלומר, אם `□Α`, אז A אמיתי בכל העולמות הנגישים, לרבות העולם הממשי. + + +- **סימטריים** - אם `w1` יכול לראות את `w2` אז `w2` יכול לראות את `w1`. + + ∀w1​,w2​∈W,w1​Rw2​⟹w2​Rw1​ + כלומר, כל העולמות נגישים האחד לשני + +- **סדרתיים** - כל עולם יכול לגשת לפחות לעולם אחד נוסף (s.t[^1]). + + ∀w∈W,∃v∈W s.t. wRv + +--- +!!! info "הגדרה" + בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **רפלקסיבי** מתקיים: `Μ ⊨ Τ` + + +(כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי) + + +!!! info "הגדרה" + בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סדרתי** מתקיים: `Μ ⊨ D` + + + +!!! info "הגדרה" + בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **טרנזיטיבי** מתקיים `M ⊨ S4` (האקסיומה, לא המערכת). + + +!!! info "הגדרה" + בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סימטרי** מתקיים `M ⊨ B` + + `Β: Α-> □◇Α` + + +!!! info "הגדרה" + בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות יהיה **סימטרי** ו**טרנזיטיבי** מתקיים + + `Μ ⊨ ◇Α -> □◇Α` + + +## מסגרת + +ומה לגבי מודל שיש בו עולם יחיד, שבו A=T? האם +`□Α -> Α` +? + +!!! info "הגדרה" + מסגרת C היא קבוצה של מודלי קריפקה שחולקים את אותם עולמות אפשריים ואותו יחס נגישות. + + לעיתים נסמן: + + C = + +## משפטי השלמות של קריפקה + +I.F.F[^2] + + ⊨(K)A Ι.f.f ⊢(K)A + + ⊨(serial)A Ι.f.f ⊢(D)A + + ⊨(ref + trans)A Ι.f.f ⊢(S4)A + + ⊨(Sym)A Ι.f.f ⊢(b)A + + ⊨(equiv)A Ι.f.f ⊢(S5)A + + +המשפטים האלו הם מה שהפכו את קריפקה לקריפקה, והם נאותים ושלמים. + + +[^1]: כך ש +[^2]: אם ורק אם \ No newline at end of file