diff --git a/פילוסופיה/.obsidian/workspace.json b/פילוסופיה/.obsidian/workspace.json index 2741d8c7..64c2c6b1 100644 --- a/פילוסופיה/.obsidian/workspace.json +++ b/פילוסופיה/.obsidian/workspace.json @@ -13,13 +13,13 @@ "state": { "type": "markdown", "state": { - "file": "אתיקה/רפלקטיביים.md", + "file": "לוגיקה/מתקדמת/אינטואיציוניסטית.md", "mode": "source", "backlinks": true, "source": false }, "icon": "lucide-file", - "title": "רפלקטיביים" + "title": "אינטואיציוניסטית" } } ] @@ -78,8 +78,7 @@ } ], "direction": "horizontal", - "width": 200, - "collapsed": true + "width": 200 }, "right": { "id": "3cb3abc6bec1f82c", @@ -95,7 +94,7 @@ "state": { "type": "backlink", "state": { - "file": "אתיקה/החיים הרפלקטיביים.md", + "file": "לוגיקה/מתקדמת/אינטואיציוניסטית.md", "collapseAll": false, "extraContext": false, "sortOrder": "alphabetical", @@ -105,7 +104,7 @@ "unlinkedCollapsed": false }, "icon": "links-coming-in", - "title": "Backlinks for החיים הרפלקטיביים" + "title": "Backlinks for אינטואיציוניסטית" } }, { @@ -166,8 +165,10 @@ }, "active": "bb1c66f1767582eb", "lastOpenFiles": [ - "אתיקה/index.md", + "לוגיקה/מתקדמת/index.md", + "לוגיקה/מתקדמת/אינטואיציוניסטית.md", "אתיקה/רפלקטיביים.md", + "אתיקה/index.md", "לוגיקה/מתקדמת.md", "לוגיקה/לוגיקה מודאלית.md", "לוגיקה/הרצאה_7_-_5.12.22.pdf", @@ -209,8 +210,6 @@ "חדשה/לייבניץ/המונדולוגיה.md", "מטאפיזיקה/banana.jpg", "מטאפיזיקה/_df9a0cb7-6d00-4615-87d7-8edafb72d59e.jpg", - "יוונית/אפלטון/תיאיטיטוס/index.md.md", - "יוונית/אפלטון/index.md", - "פילוסופיה/דת/ראיות.md" + "יוונית/אפלטון/תיאיטיטוס/index.md.md" ] } \ No newline at end of file diff --git a/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md index 5971ebc0..da64d67b 100644 --- a/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md +++ b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md @@ -40,11 +40,13 @@ title: לוגיקה מתקדמת 2. הבקבוק מלא 3. הבקבוק **בהכרח** לא ריק -``` -1. F > E -2. F -3. ~E -``` +$$ +\begin{align} +F \to E \\ +F \\ +\neg E \\ +\end{align} +$$ האמנם? אם הבקבוק מלא יש *הכרח* מטאפיזי שהוא יהיה לא ריק? הבקבוק לעולם לא יכול להיות ריק, כחוק טבע? כנראה שלא - הבקבוק *יכול* להיות ריק[^2]. @@ -62,12 +64,12 @@ title: לוגיקה מתקדמת לפני ששטפו לנו את המוח בתואר, כולנו הבנו שזה לא נכון. אבל מבחינה לוגית, זה תקף, וכולנו החלטנו שזה דווקא כן נכון. -| A | B | A > B | -| --- | --- | ----- | -| T | T | T | -| F | T | T | -| T | F | F | -| F | F | T | +| $A$ | $B$ | $A \to B$ | +| --- | --- | --------- | +| T | T | T | +| F | T | T | +| T | F | F | +| F | F | T | אבל ברור לנו שזה לא נכון - חייב להיות איזשהו קשר *תוכני* בין הטענות, בלי קשר למה שאומרת טבלת האמת. יש סיבות לכך שדרשנו את זה, אבל עדיין יש כאן בעיה. @@ -96,22 +98,25 @@ title: לוגיקה מתקדמת 1. יוסי רץ במהירות 2. יוסי רץ -``` -1. Qy -2. Ry -``` +$$ +\begin{align} +Qy \\ +Ry +\end{align} +$$ מפרדיקט אחד נובע פרידקט אחר - מבחינת הלוגיקה, זה **לא נכון**, אבל *ברור* שאם יוסי רץ במהירות, יוסי רץ; אנחנו מסיקים ככה כל הזמן, ובצדק. #### הקשרים מכוונים קונטסקטים אינטציונליים -``` -a = b -pa ---- +$$ \begin{align} +a = b \\ +pa\\ +\hline\\ pb -``` +\end{align} +$$ !!! info "" 1. טראמפ יודע שהמורה בקורס בלוגיקה הוא המורה בקורס בלוגיקה @@ -135,10 +140,10 @@ pb פגסוס הוא סוס מכונף יש דבר כזה שהוא מכונף -``` -Wp -∃xWx -``` +$$\begin{align} +Wp\\ +\exists xWx +\end{align}$$ פגסוס הוא סוס עם כנפיים. אבל פגסוס לא קיים. אבל יש דבר מכונף. אז אנחנו מסכימים שפגסוס קיים אבל לא קיים. יש כל מיני [פתרונות מוצעים](/פילוסופיה/לשון/ראסל#האובייקט-הריק-של-מיינונג), אבל הם מצדיקים את השם הרע שיוצא לפילוסופיה. @@ -207,27 +212,29 @@ Wp איברים יהיו אותיות קטנות באנגלית - -**P** -{e, g, a} - +$$\begin{align} +P\\ +\{e, g, a\} +\end{align} +$$ #### שייכות ושייכות בסימן השייכות - -`e ∈ P` +$e \in P$ !!! warning "" - קבוצות יהיו שוות אם ורק אם כל האיברים זהים - נאמר שA=P אם ורק אם לכל a: - `a ∈ A = a ∈ P` + קבוצות יהיו שוות אם ורק אם כל האיברים זהים - נאמר ש$A=P$ אם ורק אם לכל a: + $a \in A = a \in P$ זוהי טענה חשובה פילוסופית! #### חלקיות -A ⊆ P אם לכל a: +$A \subseteq P$ אם לכל $a$: + + אם $a \in B$ אז $a \in P$ -`אם a ∈ B אז a ∈ P` - -נאמר שA **חלקי ממש** לP אם `A ⊆ P` *וגם* יש `a ∈ P` כך ש `a ∉ A` +נאמר שA **חלקי ממש** לP אם $A \subseteq P$ *וגם* יש $a \in P$ כך ש $a \notin A$ #### כלליות @@ -237,40 +244,40 @@ A ⊆ P אם לכל a: עבור קבוצה שכוללת את כל האיברים *שאינם* שייכים לקבוצה, נגיד שהיא קבוצה *משלימה*. למשל, לא-פינגווינים - -`A = Pc` +$A = Pc$ משמע A הוא כל מה שאינו פינגווינים. -`Ac = { a | a ∉ A (a ∈ A)}` +$Ac = \{ a | a \notin A (a \in A)\}$ #### איחוד בהינתן A, P, נוכל לדבר על קבוצת האיחוד - פינגווינים ולא-פינגווינים - -`A ∪ P = { x | x ∈ A או x ∈ B }` +$A \cup P = \{ x | x \in A \lor x \in B \}$ #### חיתוך מנגד, קבוצת החיתוך היא מה שכוללת לא A ולא P (אם A היא קבוצת הסטודנטים - כל מה שלא סטודנט ולא פינגווין) -`A ∩ B = { x | x ∈ A וגם x ∈ B }` +$A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}$ #### קבוצה ריקה קבוצה בלי כלום. -`Ø` +$\emptyset$ #### חוקי דה-מורגן -`(A ∪ B)^c^ ⊆ A^c∩B^c` +$(A \cup B)\land c \land \subseteq A \land c \cap B \land c$ זה מקביל לפסוק הבא מתחשיב הפסוקים: -`∧~(p v q ) ≡ ~p ∧ ~q` +$$\land \neg (p \lor q ) \equiv \neg p \land \neg q$$ -`A^c ∩ B^c ⊆(A ∪ B)^c` +$$A \land c \cap B \land c \subseteq (A \cup B) \land c $$ (כאן הייתה הוכחה, אבל אני מאמין לרע) @@ -282,24 +289,22 @@ A ⊆ P אם לכל a: ביחסים, בניגוד לקבוצות, הסדר משנה - נסמן R כלהיות אבא של - -``` -R(b,a) -R(a,b) -``` + +$R(b,a)$ +$R(a,b)$ + מושיק אבא של איציק *ממש לא שווה* לאיציק אבא של מושיק. לכן היחס של R(b,a) הוא **זוג סדור**, שנסמן ב`<>`. כלומר, -``` -F(x,y) = { | a הוא אבא של b} -``` + +$F(x,y) = \{ |\ a\ is\ the\ father\ of\ b\}$ נייצג את זה בתורת הקבוצות - -``` - = ~{{x}, {x,y}} -``` + +$ \equiv \neg \{\{x\}, \{x,y\}\}$ אם ` = `, אז `a=c, b=d`. @@ -315,7 +320,7 @@ F(x,y) = { | a הוא אבא של b} על פניו, זהו רק שכתוב של תחשיב הפסוקים. הוא נושא את **עקרון הקופמרהנציזה** - *לכל תכונה P(x) יש קבוצה* - -{x | P(x)} +$\{x\ |\ P(x)\}$ [**ראסל**](/פילוסופיה/לשון/ראסל) זיהה בעייה. דמיינו שיש קבוצת ספלי תה[^4]. הקבוצה המשלימה - לא-ספלי-תה - אינה ספל תה, ולכן שייכת לעצמה. @@ -377,13 +382,16 @@ R = {x | x ∉ X} 1. כללי היסק - אלו החברים שאנחנו מכירים - מודוס פוננס וחבריו - ``` - A -> B - A - --- - B - ``` + אלו החברים שאנחנו מכירים - מודוס פוננס וחבריו - + +$$ +\begin{align} +A \to B\\ +A\\ +\hline +B +\end{align} +$$ 3. אקסיומות @@ -391,11 +399,12 @@ R = {x | x ∉ X} אמיתות בסיסיות שאפשר לכתוב בכל שלב בגזירה פורמאלית. שלושת האקסיומות שלנו יהיו כאלו: -``` -1. A -> ( B -> A ) -2. ( A -> ( B -> C )) -> (( A -> B ) -> (A -> C)) -3. ( ~B -> ~A ) -> ( A -> B ) -``` + + 1. $A \to ( B \to A )$ + 2. $( A \to ( B \to C )) \to (( A \to B ) \to (A \to C))$ + 3. $( \neg B \to \neg A ) \to ( A \to B )$ + + !!! info "" למה זה נכון? ככה! זה עובד; אלו טאוטולוגיות. זה הרבה פחות אינטואיטיבי מדדוקציה טבעית, אבל זה תופס - תסמכו על רע. @@ -408,16 +417,17 @@ R = {x | x ∉ X} !!! danger "עכשיו השלב המגעיל!" -נוכיח ש`A->A` ללא הנחות: +נוכיח ש$A \to A$ ללא הנחות: -``` -# B = A -> A -1. A -> ((A -> A) -> A) #Axiom 1 -2. ( A-> (( A -> A) -> A)) -> (A -> (A -> A)) -> (A -> A) ) #Axiom 2 -3. ( A -> ( A -> A) ) -> (A -> A) #MP 1,2 -4. A -> (A -> A) #Axiom 1 -5. A -> A #MP 3,4 -``` + (נסמן $B = A \to A$) + +| ביטוי | הצדקה | +| ------------------------------------------------------------------- | ---------------- | +| $A \to ((A \to A) \to A)$ | אקסיומה 1 | +| $( A \to (( A \to A) \to A)) \to (A \to (A \to A)) \to (A \to A) )$ | אקסיומה 2 | +| $( A \to ( A \to A) ) \to (A \to A)$ | Modus Ponnes 1,2 | +| $A \to (A \to A)$ | אקסיומה 1 | +| $A \to A$ | Modus Ponnes 3,4 | אבל רגע. מה זה בכלל גזירה פורמאלית? diff --git a/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/אינטואיציוניסטית.md b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/אינטואיציוניסטית.md index 8ecf77ee..abb65853 100644 --- a/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/אינטואיציוניסטית.md +++ b/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/אינטואיציוניסטית.md @@ -27,11 +27,22 @@ tags: נתבונן ב $\sqrt{2} ^\sqrt{2}$. אם הוא רציונלי, סיימנו. אחרת נקבל: $$ -(\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2} = \sqrt{2} (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 2 +{(\sqrt{2}^\sqrt{2})}^\sqrt{2} = \sqrt{2} ^{(\sqrt{2} \times \sqrt{2})} = 2 $$ אבל כך יוצא שההוכחה עומדת, *ואנחנו לא יודעים מהם המספרים!* (מה זה שורש 2?) +משום שπ הוא הבנייה שלנו - ולא מספר שלם שמסתובב שם איפושהו בעולם - בראוור *נמנע מלטעון* את עקרון **השלישי הנמנע** - + +!!! info "עקרון השלישי הנמנע" + $$A \lor \neg A$$ + + לכל A + +אבל גם לא **דוחים** את העקרון - דחייתו סתירתית. כלומר, לא מכירים בו, ולא דוחים אותו. + + + !!! success "ראו גם" הקטע הבא נשען על הפילוסופיה של [קאנט](/פילוסופיה/חדשה/קאנט). ראו גם: @@ -54,13 +65,17 @@ $$ - כל טיעון תקף אינטואיציוניסטית תקף קלאסית - מצד שני, נסתכל על פונקציית התרגום הבאה g: -``` -g(p) = ~~p -g(A v B) = ~(~g(A) ^ ~g(B)) -g(A -> B) = g(A) -> g(B) -g(~A) = ~g(A) -g (A ^ B) = g(A) ^ g(B) -``` + + +$$ +\begin{align} +g(p) &= \neg \neg p \\ +g(A \lor B) &= \neg (\neg g(A) \land \neg g(B)) \\ +g(A \to B) &= g(A) \to g(B) \\ +g(\neg A) &= \neg g(A) \\ +g(A \land B) &= g(A) \land g(B) +\end{align} +$$ טענה: A תקף קלאסית אם ורק אם g(A) תקף אינטואיציוניסטית. @@ -73,6 +88,8 @@ g (A ^ B) = g(A) ^ g(B) לטובת בראוור ניתן לטעון שבתרגום אובד מידע - כמו שבעמים אסקימוסים יש עשרות מילים לשלג, שכולן נתרגם כ*שלג*[^1] - ולכן לא מדובר באותה הלוגיקה. + + ## תורת המובן [מייקל דאמט](https://en.wikipedia.org/wiki/Michael_Dummett) חקר את הסוגיה באמצעות **תורת מובן** - @@ -101,7 +118,10 @@ g (A ^ B) = g(A) ^ g(B) לאור זאת נבחן את החלופה, תורת מובן **אנטי-ריאליסטית** - !!! is-info "" - - תורת מובן **אנטי ריאליסטית** אומרת שהמובן של ביטוי ניתן על ידי **תנאי הטעינה שלו** - התנאים הקאנוניים שמאפשרים לי לטעון ביטוי כזה. + תורת מובן **אנטי ריאליסטית** אומרת שהמובן של ביטוי ניתן על ידי **תנאי הטעינה שלו** - התנאים הקאנוניים שמאפשרים לי לטעון ביטוי כזה. + + **אמת** היא **תנאי להצדקה** - *לא* אם הם *קיימים במציאות*. מכאן השם **אנטי-ריאליסטית**. + אמת, במצב כזה, היא מה שניתן לטעינה מוצדקת. זוהי תורה **טענתית** של האמת. @@ -109,11 +129,75 @@ g (A ^ B) = g(A) ^ g(B) בשפה, זה דבר מקובל - *מה השעה? לא יודע* - אבל אם נשיב ככה למחשב, הוא יתבלבל. +!!! warning "מה שאנו דוחים היא **ביוולנטיות** - כלומר, עבור כל פסוק, או שהוא אמיתי או שהוא שקרי." + וכאילו זה לא מספיק גרוע, גדל טוען שמספר ערכי האמת של לוגיקה אינטואיציוניסטית איננו סופי. בביטוי המכיל p,q,r - -(p <-> q) v (q <-> r) v (p <-> r) + +$(p \iff q) \lor (q \iff r) \lor (p \iff r)$ זו טאוטולוגיה קלאסית - זה תמיד נכון. אבל אי אפשר להוכיח את זה בלוגיקה אינטנציאוניסטית. +ישנן פונקציות תרגום ללוגיקה מודאלית: + +$$ +\begin{align} +g(p) = p \\ +g(\neg A) = \Box\neg g(A) \\ +g(A \to B) = \Box g(A) \to \Box g(B)\\ +g(a \land B) = \Box g(A) \land \Box g(B) +g(A \lor B)= \Box g(A)\lor \Box g(B) +\end{align} +$$ + + +## מודלי קריפקה + +הגדרה: מודל קריפקה של לוגיקה אינטואיציוניסטית הוא רביעיה: + +$Μ = $ + +כאשר: + +1. G - קבוצה של מצבים אפיסטמיים + +2. $@ \in G$ - המצב האפיסטמי הנוכחי + +3. $R$ יחס נגישות בין מצבים אפיסטמיים שהוא רפלסיבי וטרנזיטיבי $wRw'$ אומר אינטואיטיבית שב$w'$ הרחבנו את המצב שידענו ב$w$. + +4. $v$ - פונקציית הערכה. קודם כל לכל אטום $p$: + + $v(P) = 0 \lor 1$ + +קרי, **0** משמע *אני לא יודע האם זה המצב*, ו**1** משמע *אני יודע שזה המצב*. + +!!! warning "זהירות - 0 לא אומר *אני יודע שזה לא המצב*, אלא *אני לא יודע האם זה המצב* - אני לא יודע שלא, אני פשוט לא יודע!" + +יש תנאי, שלא היה לנו בלוגיקה אינטואיציוניסטית: אם $v(w,p) = 1$ וגם $wRw'$ אז: + +$$ +v(w', p) = 1 +$$ + +1. $$v(w,A \land B) = 1\ \ i.f.f\ \ v(w,A)=v(w,B)=1$$ +2. $$v(w, A \lor B)\ i.f.f\ v(w,A) =\ 1\ \ or\ \ v(w,B) = 1$$ +3. +$$ \begin{align} +v(w,\neg A)\ i.f.f\ for\ all\ w'G\ so\ that\ wRw':\\ +v(w',A) = 0\\ +\end{align}$$ + +4. $$\begin{align} +v(w, A \to B)\ i.f.f\ for\ all\ W' \in G\ so\ that\ wRw':\\ +if\ v(w',A) = 1\ then\ v(w',B) = 1 \\ +\end{align}$$ + +**הגדרה:** נאמר שפסוק $A$ אמיתי במודל $M$ $(M \models A)$ אם $v(@,A) = 1$ + + +**טענה**: לכל פסוק $A$ ועולם $W$: + +אם $v(W,A)=1$ וגם $wRw'$ אז $v(w', A)=1$. + [^1]: ובקוריאנית יש *ה מ ו ן* מילים לתודה (감사합니다, 고맙습니다, 고마워...), תלויות הקשר. \ No newline at end of file