diff --git a/פילוסופיה/לוגיקה/לוגיקה מודאלית.md b/פילוסופיה/לוגיקה/לוגיקה מודאלית.md
index 5b51c5a8..7793717c 100644
--- a/פילוסופיה/לוגיקה/לוגיקה מודאלית.md	
+++ b/פילוסופיה/לוגיקה/לוגיקה מודאלית.md	
@@ -150,17 +150,147 @@
 הפתרון הוא **אקסיומה S4**:
 
 		□A -> □□A
-		בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים.
+
+בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים.
 
 1. T
 2. אקסיומה S4.
 3. עובדות S4:
+
 		1.  □A ≡ □□A
+		
 		2. ◇A ≡ ◇◇A
-		3. 
+		
+		3. □◇□◇A ≡ □◇A
+		
+		4. ◇□◇□A ≡ ◇□A
+
+
+משתמשים במערכת S4 בהקשרים אפיסטמיים - *אם אני יודע משהו אני יודע שאני יודע משהו*. 
+
+#### מערכת S5
+
+ביטויים כמו 
+		□◇A
+
+		◇□A
+עדיין מעצבנים. 
+
+הפתרון הוא **מערכת S5**:
+
+1.  T
+2. 
+		◇A -> □◇A
+
+עובדות בS5:
+
+a. 
+
+		◇A ≡ □◇A 
+	
+b.
+
+		□A ≡ ◇□A
+
+c. 
+	
+		⊢(s5) □A -> □□A
+כלומר, אקסיומה S4 יכיחה בS5.
+
+
+### מערכת B
+
+1. מערכת T
+2. 
+		 
+		 Α -> □◇A
+
+עובדה: B יכיחה בS5. למה? בגלל ש
+		Α -> ◇A 
+
+יכיח בT.
+
+לכן,
+
+		◇A -> □◇A
+
+
+לכן אפשר להוכיח
+
+		A -> □◇A
+
+
+
+## אבל רגע, S5
+
+S5 היא החזקה בכל המערכות.
+
+בפילוספיה מקובל לחשוב שS5 היא זו שתופסת את מושג ההכרח **המטאפיזי**.
+
+
+### סמנטיקה
+
+**רודולף קארנפ**, מה[פוזיטיביסטים הלוגיים](/פילוסופיה/לשון/פוזיטיבים) כתב ב1948 את *Μeaning & Necessity*. 
+
+ נבחן פסוק כמו - 
+
+
+> רווק הוא גבר לא נשוי
+
+
+למה זה עובד? זה לא נכון כי עשינו תצפית וראינו שכל הרווקים לא נשויים; זה נכון כי זו ההגדרה הלשונית. **המובן** של רווק זה שהוא לא נשוי. מה זה אומר *המובן* של רווק? קרנפ גורר פנימה את מושג ההכרח. כלומר, אם אתה טוען שרווק הוא נשוי, אתה לא *טועה* - אתה *משנה את ההגדרה* - מדבר בשפה אחרת!
+
+אם נגדיר רווק כA, זה לא ש□A אם ורק אם משהו - זה שA, בהיותו A הוא טאוטולוגיה.
+
+| P   | Q   | R   | PvQ | ~P  | Pv~P | □P  | ◇P  |
+| --- | --- | --- | --- | --- | ---- | --- | --- |
+| T   | T   | T   | T   | F   | T    | F   | T   |
+| F   | T   | T   | T   | T   | T    | F   | T   |
+| T   | F   | T   | T   | F   | T    | F   | T   |
+| F   | F   | T   | F   | T   | T    | F   | T   |
+| T   | T   | F   | T   | F   | T    | F   | T   |
+| F   | T   | F   | T   | T   | T    | F   | T   |
+| T   | F   | F   | T   | F   | T    | F   | T   |
+| F   | F   | F   | F   | T   | T    | F   | T   |
+
+כל שורה בטבלת האמת מייצגת **מצב עניינים**[^4], או **עולם אפשרי**[^5]. ביטוי שהוא טאוטולוגי הוא ביטוי שנכון בכל עולם אפשרי. 
+
+כלומר, 
+
+□A אמיתי אם בכל שורה A אמיתי
+
+◇A אמיתי אם יש שורה שבה A אמיתי
+
+!!! info "הגדרה"
+	1.	**מודל קרנפ** הוא שלישיה סדורה `<M =  <M, @, V` כאשר
+	2. @ `∈` W - העולם הממשי
+	3. V פונקציית הערכה שנותנת ערך אמת לכל פסוק בשורה בטבלה 
+
+		1. 
+		
+		V(w, ~A) = T if v(w,A) = F
+
+		2.
+
+			 v(w, A->B) if v(w,A) = F or v(w,B) = T
+		
+		3.
+		
+			v(w, □A) if in every line w` ∈ W  
+
+			v(w`, A) = T
+		
+		4.
+
+			v(W, ◇A) = T if there is w` ∈ W 
+
+				v(w`,A) = T
+
 
 [^1]: לפי אריסטו, יש רק דבר אחד כזה, והוא האל.
 [^2]: זהו כשל לוגי נפוץ אצלנו - אנחנו נוטים לחשוב על משפטי תנאי (אם ככה אז ככה) כהכרחיים, כמו בהצרנה הזו - כשלמעשה יש הרבה מקרים שיש תנאי בלי ההכרח (A -> B) ולא □(A -> B).
 [^3]: על שם קריפקי.
+[^4]: מ[ויטגנשטיין](/פילוסופיה/לשון/ויטגנשטיין).
+[^5]: מ[לייבניץ](/פילוסופיה/חדשה/לייבניץ).