---
title: לוגיקה טמפורלית
tags:
  - שנה_ג
  - סמסטר_א
  - לוגיקה
  - לוגיקה_מתקדמת
  - לוגיקה_טמפורלית
description: לוגיקה, בזמן!
summary: לוגיקה, בזמן!
---
ראינו הרבה משפטים כמו:


!!! is-info ""
	כל היוונים הם בני תמותה
	
	סוקראטס הוא יווני
	
	---
	 
	סוקראטס בן תמותה


אבל יש כאן בעיה. סוקראטס *היה* יווני.

אנחנו משחקים כאן על *Τense*: אנחנו רוצים לדעת לדבר על זמנים שונים. נעשה זאת בשפת תחשיב הפסוקים וסימנים חדשים - 

- $Pα$
	
	$α$ היה אמיתי בנקודה כלשהי בעבר

- $Fα$ 
	
	$α$ יהיה אמיתי בנקודה כלשהי בעתיד

- $Gα$
	
	$α$ יהיה אמיתי בכל נקודה בעתיד

- $Hα$
	
	$α$ היה אמיתי בכל נקודה בעבר


!!! info "דוגמה"
	1. Mary is walking - $q$
	2. Mary walked - $Pq$
	3. Mary will walk - $Fq$
	4. Mary had walked - $P(Pq)$
	5. Mary will have walked - $F(Pq)$
	6. You are still young, but you will not always be so - $Pq \land \neg Gq$
	7. I'm faithful to you, and I will always be - $Pq \land Gq$
	8. John has read Harry Potter, and Joe has too - $Pq \land Pz$


!!! success "ראו גם"
	 האם יש בכלל זמן? מקטאגרט כותב שלא - 
	[Τhe Unreality of Time (McTaggart)](/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/time.pdf)
	
	 וגם [שפינוזה](/פילוסופיה/חדשה/שפינוזה/אתיקה).

## מערכות בסיסית

1. CL
2. $G (α \to β) \to (Gα \to Gβ)$
3. $G (α \to β) \to (Hα \to Hβ)$

4. $α \to Gpα$

	אם α אמיתי, אז בכל נקודה בעתיד יהיה נכון שα בנקודה כלשהי בעבר (*ההווה הוא העתיד של העבר והעבר של העתיד*[^1]).

 5. $α \to HFα$


המערכת, שהגה Arthur Prior[^2]:


!!! is-info "הגדרה"
	מודל טיפוסי הוא שלישיה
	$Μ=<Ζ,Β,v>$ כאשר:
	
	$Z$ - קבוצה של נקודות בזמן
	 
	 $B$ - יחס של קבוצה בזמן. לכל שתי נקודות בזמן אפשר לשאול אם $t1Bt2$
	
	$v$ - פונקציית הערכה. לכל פסוק אטומי $P$ ונקודה $t=Z$:
	
	$v(t,p)$ = ערך האמת של $p$ ברגע $t$
	
	 תנאי האמת לאופרטורים:
	
	$v(t,Pα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ t'Bt\ and\ v(t',α) = Τ$
			
	$v(t,Fα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T$
			
	$v(t,Gα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T$
			
	$v(t,Hα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T$
	

## טענות

- $Μ \models α if\ v(t,α) = Τ\ for\ every\ t \in Z$

### טרנזיטיביות 

בכל מבנה טמפורלי $M$ בו $B$ טרנזיטיבי - 
	
 $Μ \models Hα \to HHα,  Μ \models Gα \to GGα$


### התחלה
לזמן יש התחלה - 
	
$Η(p \land \neg p) \lor PH(p \land \neg P)$

### סוף

לזמן יש סוף - 
	
 $FG(p\land \neg p) \lor G(p\land \neg p)$


(שניהם משחקים על זה שלפני הזמן ואחריו סתירות היו אמיתיות: אין דוגמת נגד)


### לינאריות

הזמן הוא לינארי - 

זמן ייקרא **לינארי** אם אין בו פיצולים. קרי, לכל שתי נקודות $t1, t2$:

- הן אותו הרגע ($t1=t2$)
- $t1$ קדם ל $t2$
- $t2$ קדם ל $t1$


$Μ \models ( Fα \land Fβ) \to (F(α \land β) \lor F(A \land Fβ)) \lor F(β \land Fa)$



אם אלפא יקרה בעתיד וביטא יקרה בעתיד, או שהם יקרו באותו הרגע, או שאלפא יקרה לפני בטא, או שבטא יקרה לפני אלפא.


### בדידות

זמן ייקרא **בדיד** (דיסקרטי) אם לכל נקודה בזמן, יש נקודה שהיא זו שקדמה לה.

כלומר, לכל $t1$ יש $t2$ כך ש$t2Bt1$ וגם אין $t3$ כך ש - 
$t3Bt1 \land t2Bt3$

$Μ \models (α \land Gα) \to PGα$

$Μ \models (α \land Hα) \to FHα$

### צפיפות

זמן ייקרא **צפוף** אם לכל שתי נקודות $t1,t2$ כך ש
$t1Bt2$

יש $t3$ כך ש- $t3Bt2$ וגם $t1Bt3$

בתמצית, *בין כל שתי נקודות יש נקודה שלישית*[^3].

$Μ \models Fα \to FFα$
		
$Μ \models Pα \to PPα$


## הטיעון של דיאדורוס

[אריסטו](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו) סבר שהעבר סגור - בלתי ניתן לשינוי - אבל העתיד פתוח ([מחר יתקיים קרב ימי](/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת#דו-ערכי)). 


מול אריסטו ניצב דיאדורוס כרונוס[^1] חושב שיש סתירה פנימית בין שתי הטענות של אריסטו. הוא מניח שתי הנחות שאריסטו אמור לקבל:

1. העבר הכרחי.
	מה שהיה, היה - נגמר, לא ניתן לשינוי

2. אם משהו בלתי אפשרי ($P$) נגרר על ידי משהו אחר ($Q$), אז גם המשהו האחר ($Q$) בלתי אפשרי.

נניח ואנחנו מדברים על צדף.

- $P$ - הצדף לא נראה ואף פעם לא ייראה

- בעבר נכון "בעתיד $P$".

אבל העבר הכרחי. לכן,

- בהכרח בעבר "בעתיד $P$"

כלומר,

- לא אפשרי שבעבר "בעתיד לא $P$"

אבל, אם נניח כמו אריסטו שהעתיד פתוח, אז אפשרי שלא $P$ ($\neg P$). אזי ממילא:

- "בעתיד לא $P$" - אפשרי

וכך נובע דטרמיניזם!

!!! warning "מה?"
	**אם העבר הכרחי**, ו**העבר טוען טענות לגבי העתיד**, אז הרי שאם טענו משהו לגבי העתיד בזמן עבר, או שקיבענו את העתיד (במידה והטענה מתממשת) או ששינינו את העבר (במידה והטענה לא מתממשת); זו בעיה רצינית.

	$$\begin{align}
	A: Pα \to \neg \Diamond \neg Pα (\Diamond Pα) \\
	Β: \Box(α \to β) \to (\neg \Diamond β \to \neg \Diamond α)\ (Axiom\ K)\\
	D:  α \to \neg P \neg Fα \\
	E: (\neg α \land \neg Fα) \to P \neg Fα\ (Determinism)\\
	\therefore \\
	C: (\neg α \land \neg Fα) \to \neg \diamond α \\
	\end{align}$$




[^1]: מי אמר שיעור פילוסופיה ולא קיבל?
[^2]: איזה שם *מעולה* לפילוסוף שעוסק בזמן.
[^3]: [קאנט](/פילוסופיה/חדשה/קאנט) אמר את זה.