---
title: לוגיקה טמפורלית
tags:
  - שנה_ג
  - סמסטר_א
  - לוגיקה
  - לוגיקה_מתקדמת
  - לוגיקה_טמפורלית
description: לוגיקה, בזמן!
summary: לוגיקה, בזמן!
---
ראינו הרבה משפטים כמו:


!!! is-info ""
	כל היוונים הם בני תמותה
	
	סוקראטס הוא יווני
	
	---
	 
	סוקראטס בן תמותה


אבל יש כאן בעיה. סוקראטס *היה* יווני.

אנחנו משחקים כאן על *Τense*: אנחנו רוצים לדעת לדבר על זמנים שונים. נעשה זאת בשפת תחשיב הפסוקים וסימנים חדשים - 

- Pα
	
	α היה אמיתי בנקודה כלשהי בעבר

- Fα 
	
	α יהיה אמיתי בנקודה כלשהי בעתיד

- Gα
	
	α יהיה אמיתי בכל נקודה בעתיד

- Hα
	
	α היה אמיתי בכל נקודה בעבר


!!! info "דוגמה"
	1. Mary is walking - **q**
	2. Mary walked - `Pq`
	3. Mary will walk - `Fq`
	4. Mary had walked - `P(Pq)`
	5. Mary will have walked - `F(Pq)`
	6. You are still young, but you will not always be so - `Pq & ~Gq`
	7. I'm faithful to you, and I will always be - `Pq & Gq`
	8. John has read Harry Potter, and Joe has too - `Pq & Pz`


!!! success "ראו גם"
	 האם יש בכלל זמן? מקטאגרט כותב שלא - 
	[Τhe Unreality of Time (McTaggart)](/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/time.pdf)
	
	 וגם [שפינוזה](/פילוסופיה/חדשה/שפינוזה/אתיקה).

## מערכות בסיסית

1. CL
2. G (α -> β) -> (Gα -> Gβ)
3. G (α -> β) -> (Hα -> Hβ)

4. α -> Gpα 

	אם α אמיתי, אז בכל נקודה בעתיד יהיה נכון שα בנקודה כלשהי בעבר (*ההווה הוא העתיד של העבר והעבר של העתיד*[^1]).

 5. α -> HFα


המערכת, שהגה Arthur Prior[^2]:


!!! is-info "הגדרה"
	מודל טיפוסי הוא שלישיה
	
		Μ=<Ζ,Β,v>
	
	כאשר:
	
	 Z - קבוצה של נקודות בזמן
		 
	 B - יחס של קבוצה בזמן. לכל שתי נקודות בזמן אפשר לשאול אם t1Bt2
	
	 v - פונקציית הערכה. לכל פסוק אטומי P ונקודה t=Z:
	
		v(t,p) = ערך האמת של p ברגע t
	
	 תנאי האמת לאופרטורים:
	
			1. v(t,Pα) = T if t' ∈ Z so that t'Bt and v(t',α) = Τ
			
			2. v(t,Fα) = T if t' ∈ Z so that tBt' and v(t',α) = T
			
			3. v(t,Gα) = T if t' ∈ Z so that tBt' and v(t',α) = T
			
			4. v(t,Hα) = T if t' ∈ Z so that tBt' and v(t',α) = T
	

## טענות

- Μ ⊨ α if v(t,α) = Τ for every t ∈ Z

### טרנזיטיביות 

בכל מבנה טמפורלי M בו B טרנזיטיבי - 
	
		 Μ ⊨ Hα -> HHα,  Μ ⊨Gα -> GGα


### התחלה
לזמן יש התחלה - 
	
		Η(p & ~p) v PH(p & ~P)

### סוף

לזמן יש סוף - 
	
		 FG(p&~p) v G(p&~p)


(שניהם משחקים על זה שלפני הזמן ואחריו סתירות היו אמיתיות: אין דוגמת נגד)


### לינאריות

הזמן הוא לינארי - 

זמן ייקרא **לינארי** אם אין בו פיצולים. קרי, לכל שתי נקודות t1, t2:

- הן אותו הרגע (t1=t2)
- t1 קדם ל t2
- t2 קדם ל t1


		Μ ⊨ ( Fα & Fβ) -> (F(α & β) v F(A&Fβ)) v F(β & Fa)



אם אלפא יקרה בעתיד וביטא יקרה בעתיד, או שהם יקרו באותו הרגע, או שאלפא יקרה לפני בטא, או שבטא יקרה לפני אלפא.


### בדידות

זמן ייקרא **בדיד** (דיסקרטי) אם לכל נקודה בזמן, יש נקודה שהיא זו שקדמה לה.

כלומר, לכל t1 יש t2 כך שt2Bt1 וגם אין t3 כך ש - 
t3Bt1 & t2Bt3

		Μ ⊨ (α ^ Gα) -> PGα 
		
		Μ ⊨ (α & Hα) -> FHα

### צפיפות

זמן ייקרא **צפוף** אם לכל שתי נקודות t1,t2 כך ש
t1Bt2

יש t3 כך ש-t3Bt2 וגם t1Bt3

בתמצית, *בין כל שתי נקודות יש נקודה שלישית*[^3].

		Μ ⊨ Fα -> FFα
		
		Μ ⊨ Pα -> PPα


## הטיעון של דיאדורוס

[אריסטו](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו) סבר שהעבר סגור - בלתי ניתן לשינוי - אבל העתיד פתוח ([מחר יתקיים קרב ימי](/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת#דו-ערכי)). 


מול אריסטו ניצב דיאדורוס כרונוס[^1] חושב שיש סתירה פנימית בין שתי הטענות של אריסטו. הוא מניח שתי הנחות שאריסטו אמור לקבל:

1. העבר הכרחי.
	מה שהיה, היה - נגמר, לא ניתן לשינוי

2. אם משהו בלתי אפשרי (P) נגרר על ידי משהו אחר (Q), אז גם המשהו האחר (Q) בלתי אפשרי.

נניח ואנחנו מדברים על צדף.

- P - הצדף לא נראה ואף פעם לא ייראה

- בעבר נכון "בעתיד P".

אבל העבר הכרחי. לכן,

- בהכרח בעבר "בעתיד P"

כלומר,

- לא אפשרי שבעבר "בעתיד לא P"

אבל, אם נניח כמו אריסטו שהעתיד פתוח, אז אפשרי שלא P (~P). אזי ממילא:

- "בעתיד לא P" - אפשרי

וכך נובע דטרמיניזם!

!!! warning "מה?"
	**אם העבר הכרחי**, ו**העבר טוען טענות לגבי העתיד**, אז הרי שאם טענו משהו לגבי העתיד בזמן עבר, או שקיבענו את העתיד (במידה והטענה מתממשת) או ששינינו את העבר (במידה והטענה לא מתממשת); זו בעיה רצינית.


```
A: Pα -> ~◇~Pα (◇Pα)
Β: □ (α -> β) -> (~◇β -> ~◇α) #אקסיומה K
D:  α -> ~P~Fα #ההווה הוא העתיד של העבר
E: (~α & ~Fα) -> P~Fα
---
C: (~α & ~Fα) -> ~◇α #דטרמיניזם!
```




[^1]: מי אמר שיעור פילוסופיה ולא קיבל?
[^2]: איזה שם *מעולה* לפילוסוף שעוסק בזמן.
[^3]: [קאנט](/פילוסופיה/חדשה/קאנט) אמר את זה.