title: לוגיקה מודאלית **לוגיקה מודאלית** היא לוגיקה שעוסקת במונחי ה**אפשרות** (◇) וה**הכרח** (□) - מה שעוסקים בו ב[מטאפיזיקה](/פילוסופיה/מטאפיזיקה). ## אריסטותלית [אריסטו](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו/מטאפיזיקה) מחלק את היישים והתכונות לשלוש סוגים: - אפשרי (יכולים להיות קיימים, אבל לא קיימים כרגע) - אקטואלי (קיימים בפועל) - הכרחי (לא יכולים לא להיות קיימים)[^1] כלומר - `◇A - יכול לרדת גשם היום` `□A - חייב לרדת גשם היום` `A - יורד גשם היום` אפשרות והכרח עומדים ביחס - מה שהכרחי, שלילתו לא יכולה להיות אפשרית - `□A ≡ ~◇~A` ומה שאפשרי, לא ייתכן ששלילתו הכרחית - `◇A ≡ ~□~A` !!! info "" אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q) הבקבוק ריק (p) --- הבקבוק לא יכול להיות מלא. --- זה נשמע כמו `□~q`, `~◇q` אבל **ההכרח חל רק על הקשר!** - לא על הרישא ולא על הסיפא! ההצרנה הנכונה היא: □(p -> ~q)[^2] בנוגע לתכונות, יש תכונות מהותיות ותכונות לא מהותיות, שחשוב להבדיל ביניהן. אם ניקח ממני את התכונה של יד, עדיין אהיה אני, מצער ככל שהדבר יהיה - אם ניקח ממני את התכונה של ראש, כנראה שלא. ## מודרנית לוגיקה מודאלית מודרנית מתחילה עם פסוקים. נחזור לדוגמה שלנו. !!! info "" אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q) הבקבוק ריק (p) □(p -> ~q) עדיין מרגיש לנו שמסתתר כאן מודוס פוננס. איך נניח הנחות חזקות יותר כדי להנביע אותו? הדוגמה עם הבקבוק מפספסת. !!! info "" בהכרח האפיפיור רווק (P) בהכרח: אם האפיפיור רווק אז הוא לא נשוי (Q) --- בהכרח: האפיפיור לא נשוי משמע: □P □(P -> ~Q) --- □~Q איך נגיע לזה? אקסיומה נוספת - **אקסיומה K**[^3] ### מערכת K !!! info "אקסיומה K" □ (Α -> Β) -> ( □Α -> □Β ) אם בהכרח (A אז B), אז (אם A בהכרח אז B בהכרח) האקסיומה ניצבת בבסיס **מערכת K ללוגיקה מודאלית**, שלה שלושה מרכיבים: 1. האקסיומות וכללי ההיסק של תחשיב הפסוקים (CL) 2. אקסיומה K 3. כלל ההיסק Necessitation (*הכרחה?*) - Α -\> □Α - מוגבל **אך ורק לגזירות בלי הנחות** ### מערכת T 1. CL 2. K 3. Nec. 4. אקסיומה T: □Α -> Α ### מערכת D בהקשרים אתיים, יש את **מושג החובה** - שהוא גם מושג של *הכרח*. במושג הזה, *לא נכון* ש□A -> A! (יש חובה להתנהג באופן מסוים - היא הכרחית - אבל ייתכן שלא ממלאים אותה!) בהקשרים אתיים, אנחנו צריכים אפוא חלופה לT. □A -> ◇A כלומר, **אם חובה שA, *אפשר* שA**. זוהי מערכת D, מלשון *דאונטית*. יש גם מובן עמוק יותר למושג החובה - שנוי במחלוקת: □(□A -> A) כלומר, אם יש חובה, חובה לקיים אותה. ### כפילויות? ומה נעשה עם דברים כמו: □□A □◇A ◇◇A וכו' וכו'? אנחנו רוצים לוותר על הכפילויות, **בלי להגיע** לאקסיומה: A -> □A #### מערכת S4 הפתרון הוא **אקסיומה S4**: □A -> □□A בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים. 1. T 2. אקסיומה S4. 3. עובדות S4: 1. □A ≡ □□A 2. ◇A ≡ ◇◇A 3. □◇□◇A ≡ □◇A 4. ◇□◇□A ≡ ◇□A משתמשים במערכת S4 בהקשרים אפיסטמיים - *אם אני יודע משהו אני יודע שאני יודע משהו*. #### מערכת S5 ביטויים כמו □◇A ◇□A עדיין מעצבנים. הפתרון הוא **מערכת S5**: 1. T 2. ◇A -> □◇A עובדות בS5: a. ◇A ≡ □◇A b. □A ≡ ◇□A c. ⊢(s5) □A -> □□A כלומר, אקסיומה S4 יכיחה בS5. ### מערכת B 1. מערכת T 2. Α -> □◇A עובדה: B יכיחה בS5. למה? בגלל ש Α -> ◇A יכיח בT. לכן, ◇A -> □◇A לכן אפשר להוכיח A -> □◇A ## אבל רגע, S5 S5 היא החזקה בכל המערכות. בפילוספיה מקובל לחשוב שS5 היא זו שתופסת את מושג ההכרח **המטאפיזי**. ### סמנטיקה **רודולף קארנפ**, מה[פוזיטיביסטים הלוגיים](/פילוסופיה/לשון/פוזיטיבים) כתב ב1948 את *Μeaning & Necessity*. נבחן פסוק כמו - > רווק הוא גבר לא נשוי למה זה עובד? זה לא נכון כי עשינו תצפית וראינו שכל הרווקים לא נשויים; זה נכון כי זו ההגדרה הלשונית. **המובן** של רווק זה שהוא לא נשוי. מה זה אומר *המובן* של רווק? קרנפ גורר פנימה את מושג ההכרח. כלומר, אם אתה טוען שרווק הוא נשוי, אתה לא *טועה* - אתה *משנה את ההגדרה* - מדבר בשפה אחרת! אם נגדיר רווק כA, זה לא ש□A אם ורק אם משהו - זה שA, בהיותו A הוא טאוטולוגיה. | P | Q | R | PvQ | ~P | Pv~P | □P | ◇P | | --- | --- | --- | --- | --- | ---- | --- | --- | | T | T | T | T | F | T | F | T | | F | T | T | T | T | T | F | T | | T | F | T | T | F | T | F | T | | F | F | T | F | T | T | F | T | | T | T | F | T | F | T | F | T | | F | T | F | T | T | T | F | T | | T | F | F | T | F | T | F | T | | F | F | F | F | T | T | F | T | כל שורה בטבלת האמת מייצגת **מצב עניינים**[^4], או **עולם אפשרי**[^5]. ביטוי שהוא טאוטולוגי הוא ביטוי שנכון בכל עולם אפשרי. כלומר, □A אמיתי אם בכל שורה A אמיתי ◇A אמיתי אם יש שורה שבה A אמיתי !!! info "הגדרה" 1. **מודל קרנפ** הוא שלישיה סדורה `B) if v(w,A) = F or v(w,B) = T 3. v(w, □A) if in every line w` ∈ W v(w`, A) = T 4. v(W, ◇A) = T if there is w` ∈ W v(w`,A) = T נאמר שפסוק A תקף-קרנפ אם לכל מודל M לכל עולם אפשרי w ∈ W v(w,A) = T הרעיון הבסיסי הוא **טבלאות אמת** - עם תנאי אמת עבור ביטויי אפשרות והכרח. כל שורה בטבלת האמת מייצגת "מודל" - מצב עניינים, או עולם אפשרי. הבעיה היא ש: - כל האקסיומות תקפות קארנפ - לא S5 - עבור P אטומי P◇ טאואולוגיה (כלומר, כל פסוק שנציב כאן יהיה טאוטולוגיה!) - חמור יותר - נציב Q וגם לא Q במקום P - ◇(Q & ~Q) - אבל זה **לא** תקף קארנפ! את 2 ו3 אפשר לתקן באמצעות מחיקת שורות בטבלת האמת: נניח וP - יורד גשם, Q - יש עננים | P | Q | | ----- | ----- | | T | T | | F | T | | **T** | **F** | | F | F | אחד המצבים (יש גשם ואין עננים) לא אפשרי! אז מחקנו את השורה שלו מטבלת האמת: | P | Q | | --------- | --------- | | T | T | | F | T | | ~~**T**~~ | ~~**F**~~ | | F | F | זה שהתרחיש שם *קומבינטרית* לא אומר שהוא אפשרי - ולכן אנחנו מוחקים אותו. השאלה *איזה שורות אני מוחק* תלויה בנקודת הפתיחה שלי (אני מדבר על גשם, אני בבאר שבע, וכו'). מההגדרה של קארנפ נובע: ``` v(W,~A) = T if v(W,A) = F v(W, A->B) = T if (v(W,A) = F or v(W,B) = F) v(W,□A) = T if for ALL w`∈W v(w`,A) = T ``` אבל את הבעיה האחרונה לא הצליח קארנפ לפתור, ונשלח לתהום הנשייה. ואז, הגיע קריפקה. ### הסמנטיקה של קריפקה סול קריפקה היה מגדולי הלוגיקנים בכל הזמנים. תרומתו הגדולה, אולי הגדולה ביותר, הגיעה בגיל 15. רע לובש ז'קט. האם *אפשרי* עבורו לפשוט אותו? כן. רע פושט את הז'קט. האם *עכשיו* אפשרי עבורו לפשוט את הז'קט? *לא*; קריפקה אומר שאפשרות הוא מושג **יחסי**. ``` P = Wearing a jacket Q - Taking of the jacket Situaion 1: Wearing the jacket P = T Q = F ◇Q = T Situation 2: P = F Q = T ◇Q = F ``` כלומר, מצב 2 **נגיש** (accessible) ממצב 1, אבל לא כל הדברים ממצב 1 נגישים ממצב 2. !!! info "הגדרה" **מודל קריפקה** הוא רביעיה `Μ = ` (הוספנו `R`) כאשר: W - קבוצה של עולמות אפשריים @ ∈ W - העולם הממשי R - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים: w\`Rw - W\` נגיש לW V - פונקציית הערכה. v(w,P) - הערך של P בעולם W. v(W, ~A), v(W, A-> B) - כמו במודלי קארנפ v(w,□A) = T אם לכל w\` ∈ W כך ש wRw\`: v(w\`,A) = T v(w,◇A) = T אם יש w\` ∈ W כך ש wRw\`: v(w\`,A) = T לכל מודל קריפקה M: `M ⊨ □ (A -> B) -> (□A -> □B)` (אקסיומה K) כלומר, `v(@,K) = T` הוכחה: נניח בשלילה שיש מודל M כך ש `Μ ⊭ Κ` כלומר, `v(@,K) = F` לכן, ``` v(@, □( Α -> Β)) = Τ v(@, □Α -> □Β) = F ``` 1. `v(@, □( Α -> Β)) = Τ` ולכן לכל w∈ W כך ש @Rw: `v(w, A-> B) = T` כלומר, בעולם @, A הכרחי 2. `v(w, □A) = T` ולכן לכל w∈ W כך ש @Rw: `v(w, B) = T` כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי מ1 ו2 נובע: v(@, □B) = T - בסתירה להנחה. --- !!! info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות רפלקסיבי מתקיים: `Μ ⊨ Τ` (כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי) !!! info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות סדרתי מתקיים: `Μ ⊨ D` !!! info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות טרנזיטיבי מתקיים `M ⊨S4` (האקסיומה, לא המערכת). [^1]: לפי אריסטו, יש רק דבר אחד כזה, והוא האל. [^2]: זהו כשל לוגי נפוץ אצלנו - אנחנו נוטים לחשוב על משפטי תנאי (אם ככה אז ככה) כהכרחיים, כמו בהצרנה הזו - כשלמעשה יש הרבה מקרים שיש תנאי בלי ההכרח (A -> B) ולא □(A -> B). [^3]: על שם קריפקי. [^4]: מ[ויטגנשטיין](/פילוסופיה/לשון/ויטגנשטיין). [^5]: מ[לייבניץ](/פילוסופיה/חדשה/לייבניץ).