!!! info "[מבחן דמה](./דמה.pdf)"

1. **בדוגמאות נגד** - הפעמים הראשונות יהיו קשות; לא להציץ בתשובות. הפעמים הבאות יהיו קלות.
2. ה מ ו ן חזרות. לנסות לבד! כשנתקעים, *תבינו מה לא הבנתם*.


מבנה:

1. מבוא (פסוקים, פרדיקטים)
2. מודאלית
3. טמפוראלית
4. אינטואיציוניסטית



שאלות:

1. 
א. 
	- ~~"לא יודע"~~
	- "מחר יהיה קרב ימי" (קביעה מטאפיזית עכשיו על אירוע עתידי)
	- ~~חובות אתיות~~

המטרה: דברים שפוגעים בתקפות הפורמלית:

- הצבה בהקשרי ידיעה: "רע = המרצה בקורס", "טראמפ יודע שהמרצה בקורס הוא המרצה בקורס", אבל לא נכון ש"טראמפ יודע שרע הוא המרצה בקורס"

- הכרח (הבקבוק ריק\ הבקבוק ריק אז הוא בהכרח לא מלא -> הבקבוק בהכרח לא מלא (לא נכון))
- בונוס: פרדוקס השקרן (אי אפשר להצרין, אמיתי או שקרי)

$$\begin{align}
p\\
p \to \neg q\\
\therefore q
\end{align}$$
נופל (זה שהבקבוק ריק *לא* גורר מטאפיזית שהבקבוק לא מלא)



ב. $A, \neg A \vdash B$
	$$\begin{align}
	\neg A \\
	\neg A \to (\neg B \to \neg A) \\
	\neg B \to \neg A \\
	(\neg B \to \neg A) \to (A \to B) \\
	A \to B \\
	A \\
	B \\
	\end{align}$$

1. Assum.
2. Axiom 1. ($A = \neg A$)
3. 1, 2, MP
4. Axiom 3.
5. 3,4, MP
6. Assum.
7. 5,6, (MP)


2. 
	א. הוכיחו: $M_{trans} \vdash (\Box A \to \Box \Box A)$

נניח בשלילה:

1. $\neg \Box \Box A$ Assum.
2. $\Diamond \neg A$  1
3. $W = {w1, w2, w3}$ Ass.
4. $w1Rw2$ Trans.
5. $w2Rw3$ Trans.
6. $v(a,w1) = T$ Ass.
7. $v(a,w2) = T$ Ass.
8. $v(a,w3) = F$ Ass.
9. $v(\Box A, w3) = F$, 8, Ref.
10. $v(\Box A, w2) = F$, 5, 9
11. $v(\Box A, w1) = T$ 4,6,7
12.  $v(\Box \Box A, w2) = F$, 5,9 
13.  Contradiction  8,12

---


$$M \nvDash \Box A \to \Box \Box A $$
כלומר

1. $v(@, \Box A) = T$
2. $v(@, \Box \Box A) = F$ ($\Box \Box A = B$)
$

מ 2., יש $w1 \in W$ כך ש$@Rw1$ וכן $v(w1, \Box A) = F$

ולכן יש $w2 \in W$ כך ש$w1Rw2$ וכן $v(w2, A) = F$

כעת, $@Rw1$ וכן $w1Rw2$ ולכן מטרנזיטיביות: $@Rw2$ בסתירה ל1. (כאן מספיק - ניתן להוסיף).

כי לפי 1. לכל $w$ כך ש$@Rw$: $v(w,A) = T$

!!! danger "לא מספיק לצייר בהוכחות כלליות - רק בדוגמאות נגד!"


	ב. 

קרנאפ מנסה לתפוס **הכרח של הגדרות** (רווק הוא גבר לא נשוי) - לא אמיתי כתוצאה מהעולם, אלא מעצם ההגדרה "רווק", ללא תלות במצב העניינים (ולכן טאוטולוגיה).

---

3. 
	1.1  p
	1.2 PPp

	2. $FG(p \land \neg p) \lor G(p \land \neg p)$, $t \in Z\ so\ that\ for\ every\ t' \in Z:\ if\ t' \not \equiv t\ then\ t'Bt$

יש נקודה בזמן ($\exists t$) כי אמיתי בלוגיקה טמפורלית הוא *בכל* נקודה בזמן

$\exists t \in Z: v(t, FG(p \land \neg p) \lor G(p \land \neg p)) = F$

כלומר

$v(t, FG(p \land \neg p)) = F$

$v(G(p \land \neg p)) = F$

נסמן את הנק' האחרונה בזמן
$t_{end} = t \to v(t, G(p \land \neg p)) = T$ (Assum.)


אז 

$v(t', p \land \neg p) = T$ 

(כי אין $t'$ - אין נקודה אחרי $t$)

אבל אז



4. 1. 

האינטואיציוניסטים טוענים ממקום אפיסטמי שאין רק "אמת" או "שקר" אלא גם "לא יודע" - מצב שבו נמנעים מלטעון שדבר הוא כך או אחרת. לכן הם דוחים את עקרון השלישי הנמנע.

התורה מתבססת על **תנאי טעינה**, כאשר תנאי הטעינה של פסוקים מורכבים נשענת על תנאי הטעינה של פסוקים פשוטים יותר.

טעינת פסוק מהצורה $\neg A$ מוצדקת אם יש דרך  להראות שטעינת $A$ מובילה לאבסורד

טעינת פסוק מהצורה $A \land B$ מוצדקת אם מוצדק לטעון הן את $A$ והן את $B$

טעינת פסוק מהצורה $A \lor B$ מוצדקת אם  לטעון אם או את $A$ או את $B$

טעינת פסוק מהצורה $A \to B$ מוצדקת אם בהינתן שאני מוצדק לטעון את $A$ אני מוצדק לטעון את $B$.


מכל אלו נובע שהיחס ל**שלישי הנמנע** הוא שלא מוצדק לטעון אותו *אוטומטית* - אפשר לטעון אותו רק כשאני *מוצדק לטובת אחד מהצדדים* ($A$ או $\neg A$). הם לא *טוענים* את השלישי הנמנע, ולא *דוחים* אותו.



 2. משום שיש מצב שלישי ("לא יודע"), שלילת שלילת A ("זה לא נכון שA אינו המצב") אינו מספיק כדי לקבוע שA ("A אכן המצב").
 
	 $v(A,w1) = 1$
	 $v(A, w2) = 0$
	 $v(A, w3) = ?$



5. א.