---
title: לוגיקה אינטואיציוניסטית
tags:
  - שנה_ג
  - סמסטר_א
  - פילוסופיה
  - לוגיקה
  - לוגיקה_מתקדמת
---
[לויצן אגברטוס יאן "ברטוס" בראוור](https://en.wikipedia.org/wiki/L._E._J._Brouwer) (1881-1966) שאל את עצמו האם בפיתוח העשרוני של π יש מופע של 9 פעמים הספרה 9 (...1234999999999...). איך בודקים? נניח וכל פעם נפתח קצת את π ונבחון כל קטע סופי נתון. אם מצאנו - נפלא. ואם לא מצאנו? נוכל רק להגיד ש*עד עכשיו* לא היה - לא נוכל להגיד ש*יש* או ש*אין* קטע כזה.

אנחנו יצורים סופיים, ויכולים לפתח רק חלק סופי. אבל האם *יש* בכלל פיתוח אינסופי כזה, שפשוט אנחנו לא מגיעים אליו? יכול להיות שאין דבר כזה - לא נוכל לדעת עד שפיתחנו הכל. אבל אם אנחנו לא יודעים שיש מקטע כזה, אולי אנחנו לא יכולים לטעון בכלל שיש או אין מקטע של תשע תשיעיות: אין על *מה* לטעון בכלל. 

העמדה הזו היא **קונסטרוקטיביזם** - 

!!! is-info "הגדרה"
	**קונסטרוקטיביזם** היא התזה שאומרת שישים (אובייקטים) מתמטיים הם פרי הבניה שלנו, כך שכל מספר Αv~A (רציונליים או לא רציונליים)

בכל פעם שמפתחים את π, הπ המפותח עד הסוף הוא זה שפיתחנו - אין לי טענה שיש אחד אינסופי כלשהו; והיות ו*לעולם* לא נפתח את π עד הסוף, אני לא יכול לטעון כלום לגבי קיום או אי קיום הקטע: הדבר שלגביו אני טוען *עדיין מתהווה*, ולעולם *עדיין יתהווה*.


!!! is-info "טענה"
	יש שני מספרים לא-רציונליים a, b כך ש - $a^b$ רציונלי

הוכחה: 

נתבונן ב $\sqrt{2} ^\sqrt{2}$. אם הוא רציונלי, סיימנו. אחרת נקבל:

$$
(\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2} = \sqrt{2} (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 2
$$

אבל כך יוצא שההוכחה עומדת, *ואנחנו לא יודעים מהם המספרים!* (מה זה שורש 2?)

!!! success "ראו גם"
	הקטע הבא נשען על הפילוסופיה של [קאנט](/פילוסופיה/חדשה/קאנט). ראו גם:
	
	[קאנט (מבוא לפילוסופיה חדשה)](/פילוסופיה/חדשה/קאנט), [קאנט - ביקורת התבונה הטהורה (קורס מתקדם)](/פילוסופיה/חדשה/קאנט/טהורה).

בראוור נשען על מושג האינטואיציה הקנטיאני. התפיסה הרציונליסטית מחלקת את המושגים למושגים מאוד מורכבים - אלוהים ומספרים - ולנתוני חושים. קאנט רוצה לשבור את הטווח הזה, ומחלק אותו במקום ל**אינטואיציה** ו**מושג**.

**מושג** הוא תמיד כללי (*כיסא*, לא הכיסא הזה), ולפי קאנט היא תמיד **מתווכחת** - קרי, המושג הוא לא רק נתוני חושים, אלא גם ארגון שלהם לפי המושגיות. 

האינטואיציה, מנגד, היא מידית, וללא תיווך - אלו הם **החלל והזמן**. הם לא *מושגים* - הם התנאים לכינון מושגים. המתמטיקה כולה נשענת *על* הזמן. 

תלמידו של בראוואר, [הייטינג](https://en.wikipedia.org/wiki/Arend_Heyting), פיתח מהקושי הזה את מערכת ה**לוגיקה האינטנטיאוניסטית** - 

![heiding](./heiding.png)


לוגיקה אינטואיציוניסטית פשוטה בהרבה - כללי ההיסק שלה מאוד פשוטים - אבל חזקה פחות מלוגיקה קלאסית. אלא שכדי "להמיר" לוגיקה אינטאיציוניסטית לקלאסית, אנחנו נדרשים לכללי היסק נוספים מוזרים, לא אינטואיטיבים. 

לכן גדל, גנצן ואחרים בנו *פונקציית תרגום* מלוגיקה קלאסית לאינטואיציוניסטית:

- כל טיעון תקף אינטואיציוניסטית תקף קלאסית
- מצד שני, נסתכל על פונקציית התרגום הבאה g:
```
g(p) = ~~p
g(A v B) = ~(~g(A) ^ ~g(B))
g(A -> B) = g(A) -
```