**לוגיקה מודאלית** היא לוגיקה שעוסקת במונחי ה**אפשרות** (◇) וה**הכרח** (□) - מה שעוסקים בו ב[מטאפיזיקה](/פילוסופיה/מטאפיזיקה).

## אריסטותלית

[אריסטו](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו/מטאפיזיקה) מחלק את היישים והתכונות לשלוש סוגים:

- אפשרי (יכולים להיות קיימים, אבל לא קיימים כרגע)
- אקטואלי (קיימים בפועל)
- הכרחי (לא יכולים לא להיות קיימים)[^1]

כלומר - 

`◇A - יכול לרדת גשם היום`

`□A - חייב לרדת גשם היום`

`A - יורד גשם היום`


אפשרות והכרח עומדים ביחס - מה שהכרחי, שלילתו לא יכולה להיות אפשרית - 

`□A ≡ ~◇~A`

ומה שאפשרי, לא ייתכן ששלילתו הכרחית - 

`◇A ≡ ~□~A`


!!! info ""
	אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
	
	הבקבוק ריק (p)
	
	---
	
	הבקבוק לא יכול להיות מלא.
	
	---
	
	זה נשמע כמו `□~q`, `~◇q`
	
	אבל **ההכרח חל רק על הקשר!** - לא על הרישא ולא על הסיפא!
	
	ההצרנה הנכונה היא:
	
	 □(p -> ~q)[^2]


בנוגע לתכונות, יש תכונות מהותיות ותכונות לא מהותיות, שחשוב להבדיל ביניהן. אם ניקח ממני את התכונה של יד, עדיין אהיה אני, מצער ככל שהדבר יהיה - אם ניקח ממני את התכונה של ראש, כנראה שלא.

## מודרנית

לוגיקה מודאלית מודרנית מתחילה עם פסוקים.  נחזור לדוגמה שלנו.

!!! info ""
	אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
	
	הבקבוק ריק (p)
	
	□(p -> ~q)

עדיין מרגיש לנו שמסתתר כאן מודוס פוננס. איך נניח הנחות חזקות יותר כדי להנביע אותו? הדוגמה עם הבקבוק מפספסת.

!!! info ""
	בהכרח האפיפיור רווק (P)
	בהכרח: אם האפיפיור רווק אז הוא לא נשוי (Q)
	---
	בהכרח: האפיפיור לא נשוי
	
	משמע:
	□P
	
	□(P -> ~Q)
	
	---
	
	□~Q


איך נגיע לזה? אקסיומה נוספת - **אקסיומה K**[^3]

### מערכת K

!!! info "אקסיומה K"
	
		□ (Α -> Β) -> ( □Α -> □Β )
	
	 אם בהכרח (A אז B), אז (אם A בהכרח אז B בהכרח)





האקסיומה ניצבת בבסיס **מערכת K ללוגיקה מודאלית**, שלה שלושה מרכיבים:

1.  האקסיומות וכללי ההיסק של תחשיב הפסוקים (CL)
2. אקסיומה K
3.  כלל ההיסק Necessitation (*הכרחה?*) - Α -\> □Α
	- מוגבל **אך ורק לגזירות בלי הנחות**

### מערכת T

1. CL
2. K
3. Nec.
4. אקסיומה T:
	
		□Α -> Α


### מערכת D

בהקשרים אתיים, יש את **מושג החובה** - שהוא גם מושג של *הכרח*. במושג הזה, *לא נכון* ש□A -> A!

(יש חובה להתנהג באופן מסוים - היא הכרחית - אבל ייתכן שלא ממלאים אותה!)


בהקשרים אתיים, אנחנו צריכים אפוא חלופה לT.

	□A -> ◇A

כלומר, **אם חובה שA, *אפשר* שA**.

זוהי מערכת D, מלשון *דאונטית*.

יש גם מובן עמוק יותר למושג החובה - שנוי במחלוקת:

		□(□A -> A)

כלומר, אם יש חובה, חובה לקיים אותה.


### כפילויות?

ומה נעשה עם דברים כמו:

		□□A
		
		□◇A
		
		◇◇A

וכו' וכו'?

אנחנו רוצים לוותר על הכפילויות, **בלי להגיע** לאקסיומה:

		A -> □A
#### מערכת S4

הפתרון הוא **אקסיומה S4**:

		□A -> □□A

בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים.

1. T
2. אקסיומה S4.
3. עובדות S4:

		1.  □A ≡ □□A
		
		2. ◇A ≡ ◇◇A
		
		3. □◇□◇A ≡ □◇A
		
		4. ◇□◇□A ≡ ◇□A


משתמשים במערכת S4 בהקשרים אפיסטמיים - *אם אני יודע משהו אני יודע שאני יודע משהו*. 

#### מערכת S5

ביטויים כמו 
		□◇A

		◇□A
עדיין מעצבנים. 

הפתרון הוא **מערכת S5**:

1.  T
2. 
		◇A -> □◇A

עובדות בS5:

a. 

		◇A ≡ □◇A 
	
b.

		□A ≡ ◇□A

c. 
	
		⊢(s5) □A -> □□A
כלומר, אקסיומה S4 יכיחה בS5.


### מערכת B

1. מערכת T
2. 
		 
		 Α -> □◇A

עובדה: B יכיחה בS5. למה? בגלל ש
		Α -> ◇A 

יכיח בT.

לכן,

		◇A -> □◇A


לכן אפשר להוכיח

		A -> □◇A



## אבל רגע, S5

S5 היא החזקה בכל המערכות.

בפילוספיה מקובל לחשוב שS5 היא זו שתופסת את מושג ההכרח **המטאפיזי**.


### סמנטיקה

**רודולף קארנפ**, מה[פוזיטיביסטים הלוגיים](/פילוסופיה/לשון/פוזיטיבים) כתב ב1948 את *Μeaning & Necessity*. 

 נבחן פסוק כמו - 


> רווק הוא גבר לא נשוי


למה זה עובד? זה לא נכון כי עשינו תצפית וראינו שכל הרווקים לא נשויים; זה נכון כי זו ההגדרה הלשונית. **המובן** של רווק זה שהוא לא נשוי. מה זה אומר *המובן* של רווק? קרנפ גורר פנימה את מושג ההכרח. כלומר, אם אתה טוען שרווק הוא נשוי, אתה לא *טועה* - אתה *משנה את ההגדרה* - מדבר בשפה אחרת!

אם נגדיר רווק כA, זה לא ש□A אם ורק אם משהו - זה שA, בהיותו A הוא טאוטולוגיה.

| P   | Q   | R   | PvQ | ~P  | Pv~P | □P  | ◇P  |
| --- | --- | --- | --- | --- | ---- | --- | --- |
| T   | T   | T   | T   | F   | T    | F   | T   |
| F   | T   | T   | T   | T   | T    | F   | T   |
| T   | F   | T   | T   | F   | T    | F   | T   |
| F   | F   | T   | F   | T   | T    | F   | T   |
| T   | T   | F   | T   | F   | T    | F   | T   |
| F   | T   | F   | T   | T   | T    | F   | T   |
| T   | F   | F   | T   | F   | T    | F   | T   |
| F   | F   | F   | F   | T   | T    | F   | T   |

כל שורה בטבלת האמת מייצגת **מצב עניינים**[^4], או **עולם אפשרי**[^5]. ביטוי שהוא טאוטולוגי הוא ביטוי שנכון בכל עולם אפשרי. 

כלומר, 

□A אמיתי אם בכל שורה A אמיתי

◇A אמיתי אם יש שורה שבה A אמיתי

!!! info "הגדרה"
	1.	**מודל קרנפ** הוא שלישיה סדורה `<M =  <M, @, V` כאשר
	2. @ `∈` W - העולם הממשי
	3. V פונקציית הערכה שנותנת ערך אמת לכל פסוק בשורה בטבלה 

		1. 
		
			V(w, ~A) = T if v(w,A) = F

		2.

			 v(w, A->B) if v(w,A) = F or v(w,B) = T
		
		3.
		
			v(w, □A) if in every line w` ∈ W  

				v(w`, A) = T
		
		4.

			v(W, ◇A) = T if there is w` ∈ W 

				v(w`,A) = T

	נאמר שפסוק A תקף-קרנפ אם לכל מודל M לכל עולם אפשרי w ∈ W

		v(w,A) = T

[^1]: לפי אריסטו, יש רק דבר אחד כזה, והוא האל.
[^2]: זהו כשל לוגי נפוץ אצלנו - אנחנו נוטים לחשוב על משפטי תנאי (אם ככה אז ככה) כהכרחיים, כמו בהצרנה הזו - כשלמעשה יש הרבה מקרים שיש תנאי בלי ההכרח (A -> B) ולא □(A -> B).
[^3]: על שם קריפקי.
[^4]: מ[ויטגנשטיין](/פילוסופיה/לשון/ויטגנשטיין).
[^5]: מ[לייבניץ](/פילוסופיה/חדשה/לייבניץ).