docs: add all untracked content

פילוסופיה/לוגיקה/פסוקים.md

@@ -0,0 +1,506 @@
+---
+title: מבוא ללוגיקה - תחשיב הפסוקים
+description: תקפות היא פונקציה של מבנה!
+published: true
+date: 2024-01-14T12:47:39.805Z
+tags: שנה א, סמסטר א, פילוסופיה, לוגיקה, סיכום
+editor: markdown
+dateCreated: 2022-10-24T08:55:18.259Z
+---
+
+# [מבוא ללוגיקה - תחשיב הפסוקים](https://moodle.bgu.ac.il/moodle/course/view.php?id=43558)
+
+> [ספר הקורס](http://courses.umass.edu/phil110-gmh/MAIN/IHome-5.htm), [דף נוסחאות](/פילוסופיה/לוגיקה/rule_sheet.pdf)
+{.info}
+# שיעור 2
+> [הרצאה](https://moodle.bgu.ac.il/moodle/pluginfile.php/3696300/mod_resource/content/0/%D7%94%D7%A8%D7%A6%D7%90%D7%94%202%20-%2031.10.22.pdf),[תרגול](/פילוסופיה/לוגיקה/תרגולוגיקהא2תשפגמתוקן_(1).ppsx)
+{.is-info}
+ ## תקפות היא פונקציה של מבנה
+בגדול: **תקפות היא פונקציה של מבנה**
+
+# שיעור 3 - דוגמא נגדית
+> [הרצאה](/פילוסופיה/לוגיקה/הרצאה_3_-_7.11.22.pdf), [תרגול](/פילוסופיה/לוגיקה/תרגולוגיקהא3תשפג.pdf)
+{.is-info}
+# שיעור 4
+> [הרצאה](/פילוסופיה/לוגיקה/הרצאה_4_-_14.11.22.pdf), [תרגול](/פילוסופיה/לוגיקה/תרגולוגיקהא4תשפג.pdf)
+{.is-info}
+## קשרים פסוקיים
+טענות מורכבות לעיתים קרובות מהמבנה האריסטוטלי, שלפיה ישנם **קשרים פסוקיים**.
+
+טענות עם קשרים פסוקיים יוצרות פסוקים מורכבים, שמורכבים מפסוקים אטומיים ומקשרים.
+
+אותנו מטרידים במיוחד קשרי 'פונקציית אמת' - ערך האמת של הטענה המתקבלת תלוי בערך האמת של הפסוק(ים) האטומי(ם).
+
+הקשרים הם מבנים עם 'חללים', שאם ממלאים אותם בפסוק תתקבל טענה שלמה.
+למשל:
+> "רחל מאמינה ש_"
+
+ישנם חמישה סוגים של קשרים פסוקיים:
+
+- קוניונקציה (Conjunction) - & - יורד גשם *ו*יש עננים (R&C)
+- דיסיונקציה (Disjunction) - v - יורד גשם *או* שיש עננים (RvC)
+
+> לשים לב להבדל בין **'או'** *כולל* (vel) ל- **'או'** *מוציא* (aut)
+{.is-warning}
+
+בדיסיונקציה (v) הכוונה היא ל- ***או כולל***.
+
+- שלילה - ~ - *זה לא נכון* שיורד גשם (R~)
+
+ערך האמת של השלילה הופכי לערך האמת של הטענה (הגיוני)
+
+- גרירה - <-|-> - *אם* יורד גשם *אז* יש עננים (R->C)
+
+> R הוא ה*רישא* (precedent?) וC הוא ה*סיפא* (?antecedent)
+{.is-info}
+
+> בקשרי גרירה, אנחנו מניחים אמת כברירת מחדל (F וT הם T - אם ירד גשם אז אסגור את החלון, לא ירד גשם, סגרתי את החלון - אמת).
+{.is-warning}
+
+כלומר, הגרירה שקרית *אם ורק אם* ה*רישא* אמיתית וה*סיפא* שקרית.
+
+- גרירה דו כיוונית - <-> - יש לי לב *אם ורק אם* יש לי כליות (H<->K)
+
+כלומר, הגרירה אמיתית רק אם לשני הפסוקים יש את אותו ערך האמת.
+
+אנחנו לא נשתמש לרוב בקשר זה.
+
+## נוסחה בנויה כהלכה
+ניתן לחשוב על שפת תחשיב הפסוקים כמו שפת תכנות - יש לה דקדוק (syntax) מדויק וברור.
+```
+1. כל אות אנגלית גדולה היא נב"כ
+2. אם **נ** היא נב"כ, אז גם **נ~** היא נב"כ
+3. אם **נ1** ו**נ2** שתיהן נב"כ, אז גם (**נ1** & **נ2**) היא נב"כ
+4. אם **נ1** ו**נ2** שתיהן נב"כ, אז גם (**נ1** v **נ2**) היא נב"כ
+5. אם **נ1** ו**נ2** שתיהן נב"כ, אז גם (**נ1** -> **נ2**) היא נב"כ
+6. אם **נ1** ו**נ2** שתיהן נב"כ, אז גם (**נ1** <-> **נ2**) היא נב"כ
+7. ***שום דבר אחר אינו נב"כ***
+```
+
+# שיעור 5
+> [הרצאה](/פילוסופיה/לוגיקה/הרצאה_5_-_21.11.22.pdf), [תרגול](/פילוסופיה/לוגיקה/תרגולוגיקהא5תשפג.pdf) 
+{.is-info}
+## מהי אפשרות
+**אפשרות** היא **מקרה**, כלומר צירופים אפשריים של ערכי אמת ל**פסוקים אטומיים**.
+
+למשל, אם ברשותי 2 פסוקים אטומיים, אז ישנם *4 מקרים* - אמת ושקר לכל פסוק. אם ברשותי 3 פסוקים, ישנם ***8 מקרים***.
+
+> אם בטיעון יש n פסוקים *אטומיים*, אז ישנם **2^n^** מקרים.
+{.is-info}
+
+עברנו על 3 מודולים (מבני טיעון):
+
+- מודוס טולנס - תקף
+- מודוס פוננס(?) - לא תקף
+- מודוס מורונס - לא תקף
+- מודוס טולנדו פוננס (סילוגיזם דיסיונקטיבי)
+
+## שווין לוגי (אקווילנטיות לוגית)
+ניתן להגיד על שתי נוסחאות שהן שוות **אם ורק אם** ערך האמת של שתיהן שווה (*בכל המקרים*).
+
+ר' דוגמאות במצגת.
+
+## סוגי נוסחאות
+- טאוטולוגית (תמיד אמת) 
+`P v ~P`
+- סתירה (תמיד שקר)
+`P & ~P`
+- קונטינגנטית (מלשון Contingent) - לפעמים אמיתית ולפעמים שקרית.
+`P > ~P`
+# שיעור 6 - תרגומים משפה טבעית
+> [הרצאה](/פילוסופיה/לוגיקה/הרצאה_6_-_28.11.22.pdf), [תרגול](/פילוסופיה/לוגיקה/תרגולוגיקהא6תשפג_עם_תוספות.pdf) 
+{.is-info}
+
+השאיפה בתרגום משפה טבעית היא כזו:
+
+> ביטויים בשפה טבעיות -> ביטויים בשפה פורמאלית -> ביצוע פעולות בשפה פורמאלית (הוכחות תקיפות וכו') -> ביטויים בשפה פורמאלית -> ביטויים בשפה טבעית
+{.info}
+
+בגדול, לקחת לרלורים בעברית, להצרין להם את הצורה, לעבד אותם ולירוק אותם חריפים בהרבה, ובעברית.
+
+## כפל משמעות
+כדאי להיזהר ממכשולים כמו משפטים דו משמעיים (*שחר ותומר נשואים* - אחד לשני\ה? לשני אנשים שונים?), *או* מוציא (*הילארי או דונאלד ת\ינצח בבחירות* - ניתן לפרק ל*לפחות אחד\ת ת\ינצח* ו*לא שניהם ינצחו*).
+
+## *רק אם*
+צריך לשים לב גם ל*רק אם* - ש**אינו** שקול ל*אם*:
+
+```
+יש לי חיית מחמד אם יש לי חתול (T)
+יש לי חיית מחמד רק אם יש לי חתול (F)
+```
+
+## *רק*
+*רק* מתפקד כשלילה כפולה. למשל:
+```
+רק עובדים מורשים
+```
+משמעותו
+```
+אם אתה לא עובד
+אז אסור לך להיכנס
+```
+
+## *אם ורק אם*
+יש שתי דרכים להתמודד עם *אם ורק אם*:
+- גרירה דו כיוונית (<->)
+- פירוק מורכב:
+```
+יש לי לב אם ורק אם יש לי כליות
+(K>H) & (K>~H~)
+```
+
+## *אלא אם*
+את *אלא אם* אפשר להפוך ל*אם לא*:
+```
+אני לא אקבל ציון עובר אלא אם אלמד
+אם לא אלמד אז לא אקבל ציון עובר
+```
+
+# שיעור 7 - תרגומים משפה טבעית (המשך)
+> [הרצאה](/פילוסופיה/לוגיקה/הרצאה_7_-_5.12.22.pdf), [תרגול](/פילוסופיה/לוגיקה/תרגולוגיקהא7תשפג.pdf), [בוחן דמה (פתור)](/פילוסופיה/לוגיקה/בוחן_דמה_1_-_פתרון.pdf)
+{.is-info}
+
+## תנאי הכרחי
+```
+אם לא אגש לכל הבחנים
+אז
+לא אעבור את הקורס
+A > ~E~
+```
+## תנאי מספיק
+```
+כדי לעבור את הקורס
+מספיק
+לקבל 60
+A > E
+```
+
+## שלילה של תנאי הכרחי
+```
+לגשת לשני הבחנים
+זה לא הכרחי
+בשביל לעבור את הקורס
+(A > ~E~)~
+```
+
+## שלילה של תנאי מספיק
+```
+לגשת לשני הבחנים
+זה לא מספיק
+לקבל 100 בקורס
+(A > E)~
+```
+
+## שילובים
+### תנאי הכרחי ומספיק
+```
+A > ~E~
+&
+A > E
+```
+### תנאי הכרחי אבל לא מספיק
+```
+A > ~E~
+&
+(A > E)~
+```
+### תנאי מספיק אבל לא הכרחי
+```
+A > E
+&
+(A > ~E~)~
+```
+### תנאי לא הכרחי ולא מספיק
+```
+(A > ~E~)~
+&
+(A > E)~
+```
+> ש"ב - לבדוק את ערך האמת של החבר הזה, ומה זה אומר
+{.is-warning}
+
+## פסוקים מורכבים
+1. נזהה את הפסוקים הפשוטים ונסמן באותיות גדולות.
+2. נזהה את כל הקשרים. אילו מהם הם קשרים סטנרטיים? אילו מהם אינם?
+3. נשכתב את המשפט כאשר הפסוקים הפשוטים יוחלפו ע"י הקישורים שלהם. נשמור על המבנה התחבירי.
+4. נזהה את הקשר הראשי.
+5. אם הקשר הראשי סטנדרטי, נחליף אותו בלוגוגרמה מתאימה; אם לא, נמצא פרפרזה ונחזור ל4.
+6. נעבוד על הנוסחאות המרכיבות כתוצאה מ5 (עבור 4)
+7. נחליף את הנוסחאות המרכיבות בחזרה לתוך הנוסחה הכוללת.
+8. נתרגם את הנוסחה הכוללת בחזרה לשפה טבעית, ונשווה אותה עם המשפט המקורי.
+
+# שיעור 8
+
+> [הרצאה](/פילוסופיה/לוגיקה/הרצאה_8_-_19.12.22.pdf)
+{.is-info}
+
+## רענון
+אנחנו יודעים מהם:
+- משפט - יחידה בשפה
+- פסוק - משפט בעל ערך אמת
+- טענה
+- ערך אמת - אמת\שקר
+- טיעון - אוסף של פסוקים שאחד המסקנה והשאר ההנחות
+- טיעון נכון עובדתית - טיעון שכל הנחותיו אמיתיות
+- תקף - טיעון שאם כל הנחותיו אמיתיות אז בהכרח מסקנתו אמיתית
+- נאות - טיעון תקף ונכות עובדתית
+- קשר פסוקי - ביטוי המחבר בין מספר פסוקים אטומיים
+- קשר ערך אמת - קשרים שערכיהם תלויים בערך הפסוקים האטומיים
+
+וגם:
+- הכלל היסודי של הלוגיקה - **תקפות היא פונקציה של מבנה**
+- שיטת הדוגמא הנגדית להוכחת אי תקפות
+- תרגום משפה טבעית לתחשיב הפסוקים
+- להוכיח תקפות או אי תקפות באמצעות טבלאות אמת
+
+> המלצה: שאלת ההיבטים הנשגבים של האלוהים (ר' מצגת)
+{.is-success}
+
+> טיפ ^מההמלצה^: היצמד לשיטה הפילוסופית - Present, Explain, Evaluate (PEE arguments). הצג, הסבר והערך^?^ טיעון.
+{.is-info}
+
+
+# שיעור 9 - הוכחות בתחשיב הפסוקים
+
+> [הרצאה](/פילוסופיה/לוגיקה/הרצאה_9_-_26.12.22.pdf)
+{.is-info}
+
+## נפטרים מטבלאות האמת
+טבלאות אמת זה לא כיף. במקום לבדוק את *כל המקרים*, כדאי לבדוק רק את המקרים בהם כל ההנחות האמיתיות (שכן אם המסקנה שקרית, הטיעון אינו תקף).
+
+נתחיל במבנים  (*מודוס*-ים) שאנחנו **יודעים** שהם תקפים - ונשליך אותם על הטיעון שלנו.
+```
+P
+P>Q
+Q>R
+R>S
+/S
+```
+למשל - נניח שP אמיתי ונפעיל מבנה תקף:
+```
+P
+P>Q
+/Q
+```
+משמע, **אם P אמיתי, Q אמיתי**.
+נמשיך באותה הצורה:
+```
+Q>R
+Q (סעיף קודם)
+R
+```
+משמע, **אפ Q אמיתי, אז R אמיתי**.
+וככה הלאה.
+
+המהלך הזה הוא *הוכחה* שהטיעון הזה תקף - במקום ללכת על דרך השלילה (אין מצב שבו ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית), הולכים על החיוב.
+
+> ר' את דרך הרישום (נוטציה) בספר של Hardegree
+{.is-info}
+
+בגדול, המבנה הוא כזה:
+```
+1. P				Pr(emise)
+2. P > Q					 Pr
+3.  Q > R 				 Pr
+4.  R > S 			   Pr
+5.						SHOW: S
+-^-^נקודות חינם עד כאן^-^-
+6. Q 					1,2,MP
+7.  R 				 3,6,MP
+8.  S					4,7,MP
+(בסוף: Box & Cancel)
+```
+> מומלץ:
+> \- מיד לאחר העתק ההנחות, לוודא שהעתקנו נכון ולא פספסנו שלילה נבזית כזו או אחרת
+> \- לכתוב את הSHOW
+{.is-warning}
+
+> הישמר: המודוסים **צורניים לחלוטין**. גם אם יש להם אותו ערך אמת, ביטויים תקפים אחרים **אינם מופעים של המודוסים**
+{.is-warning}
+
+למשל:
+
+```
+~P > ~Q
+Q
+/P
+```
+**אינו מופע של מודוס תולנס**.
+
+
+## חוקי ההיקש
+> **כאן** מתחילים לבהות בדף הנוסחאות. הידד!
+{.is-info}
+
+בשפה יש (בערך) חמישה קשרים. ל(כמעט) כל קשר יש 
+- חוק OUT
+איך *לפרק* נוסחה עם הקשר הזה
+- חוק IN
+איך *לבנות* נוסחה עם הקשר הזה
+
+## &O
+אם הקוניוקציה אמיתית, מותר להסיק את הפסוק הראשון:
+```
+A & B
+/A
+```
+או את הפסוק השני:
+```
+A & B
+/B
+```
+הרישום נראה ככה:
+```
+A & B			Pr
+SHOW: A
+A					&O
+```
+
+הכלל הזה חל **רק על שורה שלמה**:
+```
+A > (B & C)
+```
+**לא** ניתן להחיל על ביטוי זה את הכלל!
+```
+(A > B) & (C & D)
+```
+***ניתן*** להחיל על ביטוי זה את הכלל.
+
+## &I
+אם יש לך נוסחא, ויש לך נוסחא, מותר לך להקיש את הקוניוקנציה הראשונה שלהם
+```
+A
+B
+/A & B
+```
+ואת השנייה שלהם
+```
+A
+B
+/B & A
+```
+
+## Ov
+אם יש לך דיסיונקציה ויש לך את השלילה של הדיסיונקט הראשון, מותר לך להקיש את הדיסיונקט השני:
+```
+A v B
+~A
+/B
+```
+ואם יש שלילה של הדיסיונקט השני, מותר לך להקיש את הדיסיונקט הראשון:
+```
+A v B
+~B
+/A
+```
+
+## Iv
+אם יש לנו נוסחה, אז מותר לנו להקיש את הדיסיונקציה עם כל נוסחא לימינה:
+```
+A
+/ A v B
+```
+או לשמאלה:
+```
+A
+/ B v A
+```
+## >O
+אם יש לך תנאי ויש לך את השלילה שלו, מותר לך להסיק את ההשלכה ^?^
+```
+A > C
+A
+/C
+```
+אם יש לך תנאי ויש לך את השלילה של ההשלכה, מוצתר לך להקיש את השלילה של התנאי:
+```
+A > C
+~C
+/A
+```
+## >I
+אין. במקומו יש כלל אחר שנדוש בו בהמשך.
+
+## שלילה כפולה (DN)
+אם יש לך נוסחה
+מותר לך להקיש את שלילתה הכפולה
+```
+A
+/~~A
+```
+ואם יש לך שלילה כפולה, מותר לך להסיק את הנוסחה
+```
+~~A
+/A
+```
+
+> ושוב - הכללים פועלים **רק על שורות שלמות**
+{.is-warning}
+
+## הוכחה ישירה (DD)
+```
+SHOW: A				DD
+								...
+                ...
+                ...
+                A
+```
+אם הוכחתי פסוק על ידי כך שהגעתי עליו בדיוק כפי שהוא, הרי שהוכחתי הוכחה ישירה.
+לא את כל הטיעונים ניתן להוכיח בהוכחה ישירה, אך כשכן, דרך זו נוטה להיות הקלה והמהירה ביותר.
+
+
+# שיעור 10
+## גזירה מותנית (CD)
+```
+SHOW: A>C		CD
+A						As
+SHOW: C 		 DD
+```
+
+במשפטי תנאי, יש לנו הזכות להניח באמצעות גזירה מותנית שהרישא אמיתית (Assumption - As). באמצעות הנחה זו ניתן להוכיח את הסיפא בגזירה ישירה. כמו הדוגמא של גרי: אם יש לי חור במיכל הדלק, לא יהיה לי דלק. אם לא יהיה לי דלק, הרכב לא יזוז. לכן, אם נניח שיש לי חור במיכל הדלק, ניתן להוכיח שהרכב לא יזוז.
+```
+P > Q				Pr
+Q > R				Pr
+SHOW: P > R	CD
+P						As
+SHOW: R			DD
+Q				1,4,>O
+R				2,6,>O
+```
+בדוגמא הזו, על מנת להוכיח את R (בתנאי P>R), הנחנו (As) שP אמיתי, ומשם הוכחנו הוכחה ישירה שR אמיתי. **כלומר, אם P אמיתי, R אמיתי** - הטיעון ***תקף***.
+
+## גזירה בשלילה (~D)
+```
+SHOW: ~A			~D
+A							As
+SHOW: X				DD
+.
+.
+.
+X							XI
+```
+
+לשיטה זו קוראים *רדוקציה לאבסורד* (Reductio ad absurdum). השיטה היא להוכיח שאם מניחים את השלילה של ההוכחה, מתקבלת סתירה (X) - משהו שלא יכול להיות לוגית (למשל: P&~P).
+
+> סתירה מראים ***תמיד*** בגזירה ישירה (DD)!
+{.is-warning}
+
+# שיעור 12
+## גזירה עקיפה (ID)
+```
+SHOW: A				ID
+A~				As
+SHOW: X 			DD
+.
+.
+.
+X
+```
+בשיטה זו, נניח את היפוכה של ההוכחה ונראה קיומה של סתירה.
+
+ההבדל לעומת גזירה בשלילה (~D) היא שבגזירה עקיפה *מוסיפים* שלילה, ובגזירה בשלילה *מסירים* שלילה. בנוסף, בגזירה עקיפה ניתן להוכיח כל פסוק - בגזירה שבשלילה רק פסוקים המתחילים בשלילה.
+
+> כל דוגמא שניתן להראות בגזירה ישירה, ניתן להראות גם בגזירה עקיפה - אך לא להיפך!
+{.is-info}
+
+כשID מופעלת על דיסיונקציה, ניתן לכנותה vD. מדובר *באותה אסטרטגיה בדיוק* - מטרת השם הוא להזכיר.