vault backup: 2025-01-16 14:17:53
This commit is contained in:
@@ -24,16 +24,18 @@ $$A, \not Α \vdash B$$
|
||||
|
||||
אז איך שומרים על ההגדרה הכללית של תקפות - *אם כל ההנחות אמיתיות אז המסקנה חייבת להיות אמיתית* - ודוחים את $A, \not Α \vdash B$? הדרך היא, באיזשהו מובן, לתאר *סתירות אמיתיות*, כמו ההאמנות הסותרות שלנו.
|
||||
|
||||
## דיאלתאיזם
|
||||
|
||||
העמדה הפילוסופית הזו מכונה **Dialetheism**[^1] - **העמדה לפיה יש סתירות אמיתיות**.
|
||||
|
||||
|
||||
!!! is-success "ראו גם"
|
||||
!!! success "ראו גם"
|
||||
[Graham Priest - *What is so Bad about Contradictions?*](./contradictions.pdf)
|
||||
|
||||
|
||||
פריסט לא מנסה, כמו [לוגיקה אינטואיציוניסטית](../אינטואיציוניסטית), לשנות את החשיבה מהיסוד: הוא רוצה לשלם את המחיר המינימלי בסתירות אמיתיות ולהמשיך הלאה.
|
||||
|
||||
יש כמובן טענות נגד דיאלתאיזם:
|
||||
### טענות נגד
|
||||
|
||||
1. סתירות גוררות הכל וזה רע.
|
||||
|
||||
@@ -51,7 +53,102 @@ $$A, \not Α \vdash B$$
|
||||
|
||||
> 1. (1.) הוא משפט שקרי.
|
||||
|
||||
זו סתירה רצינית.
|
||||
זו סתירה רצינית. אבל אנחנו כן מבינים את זה באיזשהו מובן, ואנחנו בטח לא יכולים להסיק ממנו הכל, אומר פריסט - ולכן הוא חושב שפסוקים כמו זה הם *גם* אמיתיים ו*גם* שקריים.
|
||||
|
||||
4. אם היו סתירות אמיתיות, לא היה אפשרי לבקר אף אחד.
|
||||
|
||||
בדיחה חסידית מספרת על שני צדדים ניצים שבאו לגישור אצל הרבי. הרבי הקשיב לצד הראשון ואמר, *כן, אלו טיעונים מאוד משכנעים, אתה צודק*, ואז שמע את הצד השני ואמר שוב *כן, אלו טיעונים מאוד משכנעים, אתה צודק*. אשתו של הרבי מתפרצת פנימה וזורקת - *לא יכול להיות ששניהם צודקים*, והוא משיב *כן, את צודקת*.
|
||||
|
||||
התשובה של פריסט היא שסתירה *יכולה* להיות אמיתית (כמו פרדוקס השקרן) אבל לא *כל* סתירה אמיתית (כמו דואליזם ומטריאליזם, זה פשוט לא יושב).
|
||||
|
||||
5. אם יש סתירות אמיתיות, אי אפשר לדחות כלום.
|
||||
|
||||
אם ב$P \lor \neg P$ אנחנו דוחים בהכרח את אחד מהשניים, אבל יש סתירות אמיתיות, אנחנו לא יכולים לדחות את $P$.
|
||||
|
||||
פריסט, בתגובה, מבחין בין *שלילה* ל*דחייה*. זו טענה של [פרגה](/פילוסופיה/לשון/פרגה) - סביב המובן. חשבו על המשפט -
|
||||
|
||||
!!! is-info ""
|
||||
אם יורד גשם יש עננים
|
||||
|
||||
יורד גשם
|
||||
|
||||
---
|
||||
|
||||
יש עננים
|
||||
|
||||
|
||||
*אם יורד גשם* זו לא טענה: זה תנאי מסיום. אבל *יורד גשם* זו טענה.
|
||||
|
||||
פרגה מפריד בין *תוכן* הטענה ל*כוח* הטענה - מה הטענה אומרת, *ומה עושים איתה בפועל*:
|
||||
|
||||
*שלילה* היא אמצעי לשוני - למשל, *אם אין עננים לא יורד גשם* מכיל שתי שלילות.
|
||||
|
||||
*דחיה* היא *Speech Act* - היא חישוב כנגד הפסוק כולו. היא שימוש בלשון *על מנת לבצע פעולה כלשהי*
|
||||
|
||||
|
||||
אם נקבל דיאתליזם, *שלילה* תפסיק להוות *דחייה*, וזו בעיה - אבל ייתכן וישנה דרך *אחרת* לדחות דברים - בלי המילה *לא*.
|
||||
|
||||
|
||||
לאור כל הקשיים האלה, הגה גרהאם את **לוגיקת הפרדוקס**.
|
||||
|
||||
## לוגיקת הפרדוקס
|
||||
|
||||
המניע מאחורי לוגיקת הפרדוקס היא לשמר כמה שיותר מהלוגיקה הקלאסית, אבל לאפשר בה סתירות אמיתיות.
|
||||
|
||||
הרעיון המרכזי הוא ש***אמת* ו*שקר* לא מוציאים זה את זה**.
|
||||
|
||||
לכל פסוק ניתן קבוצה של ערכי אמת: $\{T, F\}$, או $\{T\}$ או $\{F\}$.
|
||||
|
||||
פונקציית הערכה $V$: נותנת לפסוקים האטומיים אחת משלושת הקבוצות הללו.
|
||||
|
||||
תנאי האמת לשלילה:
|
||||
|
||||
$$\begin{align}
|
||||
T \in \lor (\neg A)\ if\ F \in \lor(A) \\
|
||||
F \in \lor (\neg A)\ if\ T\in \lor(A) \\
|
||||
\end{align}$$
|
||||
|
||||
|
||||
תנאי האמת לאמת:
|
||||
|
||||
$$
|
||||
\begin{align}
|
||||
T \in \lor (A \lor B)\ if\ T\in\lor(A)\ or\ T\in\lor(B) \\
|
||||
\\
|
||||
F \in \lor (A \lor B)\ if\ F\in\lor(A)\ or\ F\in\lor(B) \\
|
||||
\\
|
||||
T \in \lor (A \land B)\ if\ T\in\land(A)\ or\ T\in\land(B) \\
|
||||
\\
|
||||
F \in \lor (A \land B)\ if\ F\in\land(A)\ or\ F\in\land(B) \\
|
||||
\end{align}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
בעצם, מסתתר פה ערך אמת נוסף - $P$ (פרדוקס - אמת *ו*שקר)
|
||||
|
||||
| $A$ | $\neg A$ |
|
||||
| --- | -------- |
|
||||
| T | F |
|
||||
| P | P |
|
||||
| F | T |
|
||||
|
||||
|
||||
בדיסיונקציה -
|
||||
|
||||
| | B | B | B | B |
|
||||
| ----- | ------ | --- | --- | ------- |
|
||||
| **A** | $\lor$ | *T* | *P* | ***F*** |
|
||||
| **A** | *T* | T | T | T |
|
||||
| **A** | *P* | T | P | P |
|
||||
| **A** | *F* | T | P | F |
|
||||
|
||||
ובקוניוקנציה -
|
||||
|
||||
| | B | B | B | B |
|
||||
| ----- | ------------- | ------- | ------- | ------- |
|
||||
| **A** | ***$\land$*** | ***T*** | ***P*** | ***F*** |
|
||||
| **A** | ***T*** | T | P | F |
|
||||
| **A** | ***P*** | P | P | F |
|
||||
| **A** | ***F*** | F | F | F |
|
||||
|
||||
|
||||
[לוגיקה פאראקונסיסטנית](https://plato.stanford.edu/entries/logic-paraconsistent/)
|
||||
|
||||
@@ -128,61 +128,60 @@ $$\forall w \in W,\exists v\to W\ so\ that\ wRv$$
|
||||
|
||||
|
||||
!!! is-info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **רפלקסיבי** מתקיים: $Μ ⊨ Τ$
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **רפלקסיבי** מתקיים: $$Μ ⊨ Τ$$
|
||||
|
||||
|
||||
(כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי)
|
||||
|
||||
|
||||
!!! is-info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סדרתי** מתקיים: `Μ ⊨ D`
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סדרתי** מתקיים: $$Μ ⊨ D$$
|
||||
|
||||
|
||||
|
||||
!!! is-info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **טרנזיטיבי** מתקיים `M ⊨ S4` (האקסיומה, לא המערכת).
|
||||
|
||||
|
||||
!!! is-info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סימטרי** מתקיים `M ⊨ B`
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **טרנזיטיבי** מתקיים $M ⊨ S4$
|
||||
|
||||
`Β: Α-> □◇Α`
|
||||
(האקסיומה, לא המערכת).
|
||||
|
||||
|
||||
!!! is-info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סימטרי** מתקיים $M ⊨ B$
|
||||
|
||||
$$Β:\ Α \to \Box \Diamond Α$$
|
||||
|
||||
|
||||
!!! is-info "הגדרה"
|
||||
בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות יהיה **סימטרי** ו**טרנזיטיבי** מתקיים
|
||||
|
||||
`Μ ⊨ ◇Α -> □◇Α`
|
||||
$$Μ \models \Diamond Α \to \Box \Diamond Α$$
|
||||
|
||||
|
||||
## מסגרת
|
||||
|
||||
ומה לגבי מודל שיש בו עולם יחיד, שבו A=T? האם
|
||||
`□Α -> Α`
|
||||
?
|
||||
ומה לגבי מודל שיש בו עולם יחיד, שבו $A=T$? האם $□Α \to Α$?
|
||||
|
||||
!!! is-info "הגדרה"
|
||||
מסגרת C היא קבוצה של מודלי קריפקה שחולקים את אותם עולמות אפשריים ואותו יחס נגישות.
|
||||
|
||||
|
||||
לעיתים נסמן:
|
||||
|
||||
C = <W,R>
|
||||
$C = <W,R>$
|
||||
|
||||
## משפטי השלמות של קריפקה
|
||||
|
||||
I.F.F[^2]
|
||||
|
||||
⊨(K)A Ι.f.f ⊢(K)A
|
||||
|
||||
⊨(ref)A Ι.f.f ⊢(T)A
|
||||
|
||||
⊨(serial)A Ι.f.f ⊢(D)A
|
||||
|
||||
⊨(ref + trans)A Ι.f.f ⊢(S4)A
|
||||
|
||||
⊨(Sym)A Ι.f.f ⊢(b)A
|
||||
|
||||
⊨(equiv)A Ι.f.f ⊢(S5)A
|
||||
$$
|
||||
\begin{align}
|
||||
⊨(K)A\ Ι.f.f\ ⊢(K)A \\
|
||||
⊨(ref)A\ Ι.f.f\ ⊢(T)A \\
|
||||
⊨(serial)A\ Ι.f.f\ ⊢(D)A \\
|
||||
⊨(ref + trans)A\ Ι.f.f\ ⊢(S4)A \\
|
||||
⊨(Sym)A\ Ι.f.f\ ⊢(b)A \\
|
||||
⊨(equiv)A\ Ι.f.f\ ⊢(S5)A \\
|
||||
\end{align}
|
||||
$$
|
||||
|
||||
|
||||
המשפטים האלו הם מה שהפכו את קריפקה לקריפקה, והם נאותים ושלמים. הם מראים שאם יש לי הוכחה במסגרות מודלים מסוימות (סדרתיות, סימטריות וכו'), הרי שלא תהיה דוגמה נגדית, ולהיפך - **אם אין דוגמה נגדית, יש הוכחה**.
|
||||
@@ -192,32 +191,27 @@ I.F.F[^2]
|
||||
### הוכחת הנאותות
|
||||
|
||||
**משפט הנאותות** -
|
||||
אם
|
||||
|
||||
⊢(Σ)A
|
||||
|
||||
אזי אין מודל במסגרות הרלוונטיות M כך ש
|
||||
|
||||
Μ ⊭ Α
|
||||
אם $⊢(Σ)A$, אזי אין מודל במסגרות הרלוונטיות $M$ כך ש$Μ ⊭ Α$.
|
||||
|
||||
|
||||
!!! is-info "הגדרה"
|
||||
בהינתן קבוצת פסוקים Δ -
|
||||
בהינתן קבוצת פסוקים $Δ$ -
|
||||
|
||||
□Δ = {B | □B ∈ Δ}
|
||||
$$□Δ = {B\ |\ \Box B \in Δ}$$
|
||||
|
||||
עובדות:
|
||||
|
||||
1. לכל Γ, Σ עקבית-מקסימלית
|
||||
□Δ != Ø
|
||||
1. לכל $Γ, Σ$ עקבית-מקסימלית
|
||||
|
||||
2. לכל Δ,
|
||||
$$□Δ != Ø$$
|
||||
|
||||
Σ עקבית כך ש
|
||||
2. לכל $Δ,Σ$ עקבית כך ש
|
||||
|
||||
~□B ∈ Δ
|
||||
|
||||
□Δυ[~Β] is Σ-consistent
|
||||
$$
|
||||
\neg \Box B \in Δ
|
||||
$$
|
||||
|
||||
|
||||
$$□Δυ[\neg Β]\ is\ Σ-consistent$$
|
||||
|
||||
[^2]: אם ורק אם
|
||||
Reference in New Issue
Block a user