vault backup: 2024-12-05 13:17:37

פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md

@@ -0,0 +1,176 @@
+title: מודלי קריפקה
+
+
+סול קריפקה היה מגדולי הלוגיקנים בכל הזמנים. תרומתו הגדולה, אולי הגדולה ביותר, הגיעה בגיל 15.
+
+רע לובש ז'קט. האם *אפשרי* עבורו לפשוט אותו? כן. רע פושט את הז'קט. האם *עכשיו* אפשרי עבורו לפשוט את הז'קט? *לא*; קריפקה אומר שאפשרות הוא מושג **יחסי**.
+
+```
+P = Wearing a jacket
+Q - Taking of the jacket
+
+Situaion 1: Wearing the jacket
+P = T
+Q = F
+
+◇Q = T
+
+Situation 2: 
+P = F
+Q = T
+
+◇Q = F
+
+```
+
+כלומר, מצב 2 **נגיש** (accessible) ממצב 1, אבל לא כל הדברים ממצב 1 נגישים ממצב 2.
+
+!!! info "הגדרה"
+	**מודל קריפקה** הוא רביעיה סדורה:
+	`Μ = <W, @, v, R>`
+	 (הוספנו `R`) כאשר:
+	
+	W - קבוצה של עולמות אפשריים
+	
+	@ ∈ W - העולם הממשי
+	
+	R - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים:
+	
+	wRw - W נגיש ל W
+	
+	V - פונקציית הערכה. 
+	
+	v(w,P) - הערך של P בעולם W.
+	
+	v(W, ~A), v(W, A-> B) - כמו במודלי קארנפ
+	
+	 v(w,□A) = T אם לכל w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T
+	 
+	  v(w,◇A) = T אם יש w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T
+
+
+לכל מודל קריפקה M: 
+`M ⊨ □ (A -> B) -> (□A -> □B)` (אקסיומה K)
+כלומר,
+
+`v(@,K) = T`
+
+הוכחה: 
+
+נניח בשלילה שיש מודל M כך ש `Μ ⊭ Κ`
+
+כלומר, 
+`v(@,K) = F`
+
+לכן, 
+
+```
+v(@, □(Α -> Β)) = Τ
+v(@, □Α -> □Β) = F
+``` 
+
+1. נתון `v(@, □( Α -> Β)) = Τ` ולכן לכל `w∈ W` כך ש `@Rw`
+	
+	`v(w, A-> B) = T` 
+	כלומר, בעולם @, A הכרחי
+
+2. נתון  `v(w, □A) = T` ולכן לכל `w∈ W` כך ש  `@Rw`:
+	
+	`v(w, B) = T`
+	
+	כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי
+
+
+מ1 ו2 נובע:
+
+`v(@, □B) = T`
+**בסתירה להנחה**.
+
+## יחסי נגישות 
+
+הנגישות של העולמות במודלי קריפקה מתחלקת לכמה סוגי יחסים:
+
+- **רפלקסיביים** - כל עולם יכול לגשת לעצמו.
+
+		∀w∈W,wRw
+כלומר, אם `□Α`, אז A אמיתי בעולם הממשי.
+
+
+- **טרנזיטיביים** - אם `w1` יכול לראות את `w2` ו`w2` יכול לראות את `w3`  אזי `w1`  יכול לראות את `w3` 
+
+		∀w1​, w2​, w3​∈W ,(w1​Rw2​ ∧ w2​Rw3​) -> w1​Rw3​
+
+כלומר, אם `□Α`, אז A אמיתי בכל העולמות הנגישים, לרבות העולם הממשי.
+
+
+- **סימטריים** - אם `w1` יכול לראות את `w2` אז `w2` יכול לראות את `w1`.
+
+		∀w1​,w2​∈W,w1​Rw2​⟹w2​Rw1​
+	כלומר, כל העולמות נגישים האחד לשני
+
+- **סדרתיים** - כל עולם יכול לגשת לפחות לעולם אחד נוסף (s.t[^1]).
+
+		∀w∈W,∃v∈W s.t. wRv
+		
+---
+!!! info "הגדרה"
+	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **רפלקסיבי** מתקיים: `Μ ⊨  Τ`
+
+
+(כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי)
+
+
+!!! info "הגדרה"
+	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סדרתי** מתקיים: `Μ ⊨ D`
+
+
+
+!!! info "הגדרה"
+	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **טרנזיטיבי** מתקיים `M ⊨ S4` (האקסיומה, לא המערכת).
+
+
+!!! info "הגדרה"
+	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות **סימטרי** מתקיים `M ⊨ B`
+	
+	`Β: Α-> □◇Α`
+
+
+!!! info "הגדרה"
+	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות יהיה **סימטרי** ו**טרנזיטיבי** מתקיים 
+
+	`Μ ⊨ ◇Α -> □◇Α`
+
+
+## מסגרת
+
+ומה לגבי מודל שיש בו עולם יחיד, שבו A=T? האם 
+`□Α -> Α`
+?
+
+!!! info "הגדרה"
+	מסגרת C היא קבוצה של מודלי קריפקה שחולקים את אותם עולמות אפשריים ואותו יחס נגישות.
+
+	לעיתים נסמן:
+
+		C = <W,R>
+
+## משפטי השלמות של קריפקה
+
+I.F.F[^2]
+
+		⊨(K)A Ι.f.f ⊢(K)A
+		
+		⊨(serial)A Ι.f.f ⊢(D)A
+
+		⊨(ref + trans)A Ι.f.f ⊢(S4)A
+
+		⊨(Sym)A Ι.f.f ⊢(b)A
+
+		⊨(equiv)A Ι.f.f ⊢(S5)A
+
+
+המשפטים האלו הם מה שהפכו את קריפקה לקריפקה, והם נאותים ושלמים.
+
+
+[^1]: כך ש
+[^2]: אם ורק אם