vault backup: 2025-01-09 20:56:41

פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/index.md

@@ -40,11 +40,13 @@ title: לוגיקה מתקדמת
 	2. הבקבוק מלא
 	3. הבקבוק **בהכרח** לא ריק	
 
-```
-1. F > E
-2. F
-3. ~E
-```
+$$
+\begin{align}
+F \to E \\
+F \\
+\neg E \\
+\end{align}
+$$
 
 האמנם? אם הבקבוק מלא יש *הכרח* מטאפיזי שהוא יהיה לא ריק? הבקבוק לעולם לא יכול להיות ריק, כחוק טבע? כנראה שלא - הבקבוק *יכול* להיות ריק[^2].
 
@@ -62,12 +64,12 @@ title: לוגיקה מתקדמת
 
 לפני ששטפו לנו את המוח בתואר, כולנו הבנו שזה לא נכון. אבל מבחינה לוגית, זה תקף, וכולנו החלטנו שזה דווקא כן נכון. 
 
-| A   | B   | A > B |
-| --- | --- | ----- |
-| T   | T   | T     |
-| F   | T   | T     |
-| T   | F   | F     |
-| F   | F   | T     |
+| $A$ | $B$ | $A \to B$ |
+| --- | --- | --------- |
+| T   | T   | T         |
+| F   | T   | T         |
+| T   | F   | F         |
+| F   | F   | T         |
  
 אבל ברור לנו שזה לא נכון - חייב להיות איזשהו קשר *תוכני* בין הטענות, בלי קשר למה שאומרת טבלת האמת. יש סיבות לכך שדרשנו את זה, אבל עדיין יש כאן בעיה.
 
@@ -96,22 +98,25 @@ title: לוגיקה מתקדמת
 	1. יוסי רץ במהירות
 	2. יוסי רץ
 
-```
-1. Qy
-2. Ry
-```
+$$
+\begin{align}
+Qy \\
+Ry
+\end{align}
+$$
 
 מפרדיקט אחד נובע פרידקט אחר - מבחינת הלוגיקה, זה **לא נכון**, אבל *ברור* שאם יוסי רץ במהירות, יוסי רץ; אנחנו מסיקים ככה כל הזמן, ובצדק.
 
 #### הקשרים מכוונים
 <small>קונטסקטים אינטציונליים</small>
 
-```
-a = b
-pa
----
+$$ \begin{align}
+a = b \\
+pa\\
+\hline\\
 pb
-```
+\end{align}
+$$
 
 !!! info ""
 	1. טראמפ יודע שהמורה בקורס בלוגיקה הוא המורה בקורס בלוגיקה
@@ -135,10 +140,10 @@ pb
 	פגסוס הוא סוס מכונף
 	יש דבר כזה שהוא מכונף
 
-```
-Wp
-∃xWx
-```
+$$\begin{align}
+Wp\\
+\exists xWx
+\end{align}$$
 
 
 פגסוס הוא סוס עם כנפיים. אבל פגסוס לא קיים. אבל יש דבר מכונף. אז אנחנו מסכימים שפגסוס קיים אבל לא קיים. יש כל מיני [פתרונות מוצעים](/פילוסופיה/לשון/ראסל#האובייקט-הריק-של-מיינונג), אבל הם מצדיקים את השם הרע שיוצא לפילוסופיה. 
@@ -207,27 +212,29 @@ Wp
 
 איברים יהיו אותיות קטנות באנגלית - 
 
-**P**
-{e, g, a}
-
+$$\begin{align}
+P\\
+\{e, g, a\}
+\end{align}
+$$
 #### שייכות
 ושייכות בסימן השייכות - 
 
-`e ∈ P`
+$e \in P$
 
 !!! warning ""
-	קבוצות יהיו שוות אם ורק אם כל האיברים זהים - נאמר שA=P אם ורק אם לכל a:
-	`a ∈ A = a ∈ P`
+	קבוצות יהיו שוות אם ורק אם כל האיברים זהים - נאמר ש$A=P$ אם ורק אם לכל a:
+	$a \in A = a \in P$
 
 זוהי טענה חשובה פילוסופית!
 
 #### חלקיות
 
-A ⊆ P אם לכל a:
+$A \subseteq P$ אם לכל $a$:
+ 
+ אם $a \in B$ אז $a \in P$
 
-`אם a ∈ B אז a ∈ P`
-
-נאמר שA **חלקי ממש** לP אם `A ⊆ P` *וגם* יש `a ∈ P` כך ש `a ∉ A`
+נאמר שA **חלקי ממש** לP אם $A \subseteq P$  *וגם* יש $a \in P$ כך ש $a \notin A$
 
 #### כלליות
 
@@ -237,40 +244,40 @@ A ⊆ P אם לכל a:
 
 עבור קבוצה שכוללת את כל האיברים *שאינם* שייכים לקבוצה, נגיד שהיא קבוצה *משלימה*. למשל, לא-פינגווינים - 
 
-`A = Pc`
+$A = Pc$
 
 
 משמע A הוא כל מה שאינו פינגווינים.
 
-`Ac = { a | a ∉ A (a ∈ A)}`
+$Ac = \{ a | a \notin A (a \in A)\}$
 
 #### איחוד
 
 בהינתן A, P, נוכל לדבר על קבוצת האיחוד - פינגווינים ולא-פינגווינים - 
 
-`A ∪ P = { x | x ∈ A או x ∈ B }`
+$A \cup P = \{ x | x \in A \lor x \in B \}$
 
 #### חיתוך
 
 מנגד, קבוצת החיתוך היא מה שכוללת לא A ולא P (אם A היא קבוצת הסטודנטים - כל מה שלא סטודנט ולא פינגווין)
 
-`A ∩ B = { x | x ∈ A וגם x ∈ B }`
+$A \cap B = \{ x | x \in A \land x \in B \}$
 
 #### קבוצה ריקה
 
 קבוצה בלי כלום.
 
-`Ø`
+$\emptyset$
 
 #### חוקי דה-מורגן
 
-`(A ∪ B)^c^ ⊆ A^c∩B^c`
+$(A \cup B)\land c \land \subseteq A \land c \cap B \land c$
 
 זה מקביל לפסוק הבא מתחשיב הפסוקים:
 
-`∧~(p v q ) ≡ ~p ∧ ~q`
+$$\land \neg (p \lor q ) \equiv \neg p \land \neg q$$
 
-`A^c ∩ B^c ⊆(A ∪ B)^c`
+$$A \land c \cap B \land c \subseteq (A \cup B) \land c $$
 
 (כאן הייתה הוכחה, אבל אני מאמין לרע)
 
@@ -282,24 +289,22 @@ A ⊆ P אם לכל a:
 
 ביחסים, בניגוד לקבוצות, הסדר משנה - נסמן R כלהיות אבא של - 
 
-```
-R(b,a) 
-R(a,b)
-```
+
+$R(b,a)$
+$R(a,b)$
+
 
 מושיק אבא של איציק *ממש לא שווה* לאיציק אבא של מושיק.
 
 לכן היחס של R(b,a) הוא **זוג סדור**, שנסמן ב`<>`. כלומר, 
 
-```
-F(x,y) = {<a,b> | a הוא אבא של b}
-```
+
+$F(x,y) = \{<a,b> |\ a\ is\ the\ father\ of\ b\}$
 
 נייצג את זה בתורת הקבוצות - 
 
-```
-<x,y> = ~{{x}, {x,y}}
-```
+
+$<x,y> \equiv \neg \{\{x\}, \{x,y\}\}$
 
 
 אם `<a,b> = <c,d>`, אז `a=c, b=d`.
@@ -315,7 +320,7 @@ F(x,y) = {<a,b> | a הוא אבא של b}
 
 על פניו, זהו רק שכתוב של תחשיב הפסוקים. הוא נושא את **עקרון הקופמרהנציזה** - *לכל תכונה P(x) יש קבוצה* - 
 
-{x | P(x)}
+$\{x\ |\ P(x)\}$
 
 
 [**ראסל**](/פילוסופיה/לשון/ראסל) זיהה בעייה. דמיינו שיש קבוצת ספלי תה[^4]. הקבוצה המשלימה - לא-ספלי-תה - אינה ספל תה, ולכן שייכת לעצמה.
@@ -377,13 +382,16 @@ R = {x | x ∉ X}
 
 1. כללי היסק
 
-	אלו החברים שאנחנו מכירים - מודוס פוננס וחבריו 
-	```
-	A -> B
-	A
-	---
-	B
-	```
+	אלו החברים שאנחנו מכירים - מודוס פוננס וחבריו -
+	
+$$
+\begin{align}
+A \to B\\
+A\\
+\hline
+B
+\end{align}
+$$
 
 
 3. אקסיומות
@@ -391,11 +399,12 @@ R = {x | x ∉ X}
 	אמיתות בסיסיות שאפשר לכתוב בכל שלב בגזירה פורמאלית.
 
 	שלושת האקסיומות שלנו יהיו כאלו:
-```
-1. A -> ( B -> A )
-2. ( A -> ( B -> C )) -> (( A -> B ) -> (A -> C))
-3. ( ~B -> ~A ) -> ( A -> B )
-```
+	
+	1. $A \to ( B \to A )$
+	2. $( A \to ( B \to C )) \to (( A \to B ) \to (A \to C))$
+	3. $( \neg B \to \neg A ) \to ( A \to B )$
+
+
 
 !!! info ""
 	למה זה נכון? ככה! זה עובד; אלו טאוטולוגיות. זה הרבה פחות אינטואיטיבי מדדוקציה טבעית, אבל זה תופס - תסמכו על רע. 
@@ -408,16 +417,17 @@ R = {x | x ∉ X}
 
 !!! danger "עכשיו השלב המגעיל!"
 
-נוכיח ש`A->A` ללא הנחות:
+נוכיח ש$A \to A$ ללא הנחות:
 
-```
-# B = A -> A
-1. A -> ((A -> A) -> A)                                     #Axiom 1
-2. ( A-> (( A -> A) -> A)) -> (A -> (A -> A)) -> (A -> A) ) #Axiom 2
-3. ( A -> ( A -> A) ) -> (A -> A)                           #MP 1,2
-4. A -> (A -> A)                                            #Axiom 1
-5. A -> A                                                   #MP 3,4
-```
+ (נסמן $B = A \to A$)
+
+| ביטוי                                                               | הצדקה            |
+| ------------------------------------------------------------------- | ---------------- |
+| $A \to ((A \to A) \to A)$                                           | אקסיומה 1        |
+| $( A \to (( A \to A) \to A)) \to (A \to (A \to A)) \to (A \to A) )$ | אקסיומה 2        |
+| $( A \to ( A \to A) ) \to (A \to A)$                                | Modus Ponnes 1,2 |
+| $A \to (A \to A)$                                                   | אקסיומה 1        |
+| $A \to A$                                                           | Modus Ponnes 3,4 |
 
 
 אבל רגע. מה זה בכלל גזירה פורמאלית?