11 KiB
title, tags
| title | tags | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| מוניזם,פלורליזם, רלטיוויזם וניהיליזם בלוגיקה |
|
!!! info "חומר הקורס" מודל, סילבוס
בביקורת התבונה הטהורה, קאנט כותב ביחס ללוגיקה שבגדול ש"אריסטו עשה את הכל", ובאלפיים השנה שחלפו אין כל חדש תחת השמש. הנרטיב (הלא נכון) זה טוען שזה נשאר המצב עד למאה ה19, עד שפרגה ממציא את תחשיב הפרדיקטים - שפה צורנית, טכנית, שמאפשרת אפיון מדויק של טיעונים - מתי טיעון הוא תקף. בספרות הקו הזה מכונה לוגיקה קלאסית.
הבעיה בלוגיקה קלאסית
אבל בלוגיקה קלאסית יש בעיות. אפשר לומר שיש בה בעיה תיאורית (לא ככה אנחנו חושבים) ובעיה נורמטיבית (לא כך ראוי לחשוב - אם A ולא A אפשר להסיק כל דבר? נו באמת).
בעשרים השנים האחרונות צצות לוגיקות לא קלאסיות (קרי , לוגיקה מתקדמת) שאומרות - אולי כדאי להיפטר מכל זה.
לוגיקה קלאסית מניחה במובן מסוים קו מחשבה אחיד, פונדמנטלי - להיות יצור רציונלי זה לחשוב בצורה מסוימת. לוגיקות לא-קלאסיות חולקות על יסודות המחשבה האלה - אולי יש דרכים אחרות להיות יצור רציונלי, דרכי מחשבה שונות לחלוטין (ואם כן - אפשר לבחור? איך בוחרים?).
איך מצדיקים שימוש בלוגיקה כזו או אחרת? על בסיס הניסיון? (קאנט חושב שלא); איך יודעים שאני משתמש בלוגיקה ה"נכונה", אם יש כזו בכלל? מה עושים? אפשר בכלל לעשות משהו?1 קריפקה, למשל, חושב שלא - אנחנו כלואים בלוגיקה שלנו.
בתחשיב הפסוקים הבנו טיעון כאוסף (Γ) של הנחות שמובילות למסקנה (A). אותו טיעון היה תקף שבו אין מצב שבו ההנחות אמיתיות והמסקנה שקרית. בלוגיקה מודאלית הבנו כל תרחיש כזה - שורה בטבלת האמת - כתרחיש אפשרי, ואפילו (בסגנון לייבניץ) עולם אפשרי. על כל עולם אפשרי נהוג לומר בספרות שהוא שלם ועקבי (עבור כל פסוק, יהיה בעולם הזה ערך - אמיתי או שקרי). קרי -Γ \models A - אם כל פסוקי Γ אמיתיים אז גם A אמיתי, וΓ \vdash A - אפשר לגזור את A מההנחות Γ באמצעות כללי ההיסק. אלו מכונות גם נאותות ושלמות.
!!! is-info "בתמצית" כל שורה בטבלת האמת שלמה (אמיתי\שקרי) ועקבית (לא גם וגם)*
אבל כאן מתחילים להסתבך.
חשבו על המשפט -
אם יש בחדר הזה יותר מ70 בני אדם אז מחר ירד גשם
על הנייר, זה A \to B וזה נכון - אבל זה מן הסתם שטויות. גם אם נשנה את זה לאם יש בחדר הזה יותר או פחות מ70 בני אדם $A, \not A \vdash B$- זה עדיין לא נכון. משהו כאן מתפספס. ועל בסיס הדאגות האלה צצות לוגיקות חדשות.
לוגיקות לא-קלאסיות
המשפחה הראשונה היא לוגיקה אינטואיציוניסטית, והשנייה היא לוגיקה רלוונטית2 .
ככלל, לוגיקות לא-קלאסית הן חלשות יותר מלוגיקה קלאסית - אפשר להוכיח בהן פחות דברים - וזה הגיוני: אנחנו מוסיפים כללי היסק. לוגיקה קלאסית נחשבת שלמה - אי אפשר לחזק אותה יותר בלי להתדרדר לטריויאליות - ולוגיקות חדשות מכונות לעיתים פוסט-שלמות. אם אנחנו רוצים לחזק את הלוגיקה, אנחנו על פי רוב נחליש אותה - במקרי קיצון נחזק בתחומים מסוימים ובהכרח נחליש באחרים.
לוגיקה אינטואיציוניסטית
!!! danger "מזוכיסטים? ראו גם" לוגיקה אינטואיציוניסטית (לוגיקה מתקדמת)
במאה ה16, גלילאו קובע שמושג האינסוף הוא אבסורד. הוא שם לב שאם "נשדך" את כל המספרים הטבעיים (1,2,3,4...) למספרים זוגיים (2,4,6,8...) יש התאמה מלאה, מה שמרמז שישנה אותה כמות מספרים טבעיים וזוגים. זהו אבסורד שגלילאו דחה, וקבע שאינסוף אינו רלוונטי מהסיבה הזו.
במאה ה19 פחות התחברו לזה - שם שאלו האם ישנם שני מספרים לא-רציונליים (קרי, שאינם שבר) a,b כך שa^b רציונלי (קרי, שבר). התשובה (וההסבר למה הקשר) היא כזו:
נסתכל על 2^\sqrt2 (אנחנו לא יודעים אם \sqrt 2 רציונלי). אם הוא רציונלי - סיימנו.
אחרת, נניח ש
{(\sqrt{2}^\sqrt{2})}^\sqrt{2} = \sqrt{2} ^{(\sqrt{2} \times \sqrt{2})} = 2
קרי, יוצא מספר רציונלי. כלומר, האם יש מספר כזה? כן - אבל מהו? (מה זה \sqrt 2? אני יודע לבנות כזה, אבל לא מה זה). כלומר, יש "טריק" - אני יכול להגיע לתשובה שקיים משהו אבל בלי לדעת מהו, משום שאני בניתי את האובייקט \sqrt 2. זה, אומר בראוור, לא לגיטימי.
בהוכחה, השתמשנו בעיקרון השלישי הנמנע - A \lor \neg A - אם הוא לא לא-רציונלי, הוא רציונלי. בראוור אומר - זה לא מספיק; כדי שאדע שהוא רציונלי, אני צריך לדעת בחיוב שהוא רציונלי.
אם נחזור לציטוט המטופש מקודם - זה לא מספיק שיש ראיות נגד זה שירד גשם (קרי, 70 אנשים); אני צריך ראיות חיוביות שכן ירד גשם.
!!! is-info "דוגמה" נניח וג'ון היה גיבור. אנחנו יכולים להוכיח שג'ון היה גיבור? ג'ון מת מזמן, אז לא. אז האם מזה נובע שג'ון לא היה גיבור?... גם לא. התשובה היא שפשוט אין לנו גישה לבדוק את זה - אילו ג'ון היה חי והיה מבצע מעשה גבורה או פחדנות, היינו יכולים להכריע - אבל אנחנו לא יכולים להגיד "בחינם" שג'ון גיבור כי אין מעשה פחדנות או שהוא פחדן כי אין מעשה גבורה.
לוגיקה רלוונטית
לוגיקה רלוונטית אינה רויזיוניסטית כמו לוגיקה אינטואיציוניסטית - היא מעוניינת ככלל לדבוק בלוגיקה הקלאסית, אבל היא מוטרדת מכמה צרות:
A, \neg A \vdash B(מסתירה נובע כל דבר)
\begin{align}
p \to (q \to p) \
,
p \to (q \to p)
\therefore
(p \to q) \lor (q \to r)
\end{align}
אף אחד מאלה לא הגיוני - אלו לא היסקים קשורים (למה שמשני פסוקים אקראיים ינבע שלישי?).
Anderson & Belnap (1975), כדי לפתור את זה, מנסים להקשיח את תנאי האמת למצבים.
בעיניהם, כל מצב הוא חתיכת מידע על העולם, ואנחנו יכולים להסיק רק בתוכה. נניח ואני יושב בחדר הסמינרים בסמינר של רע, כפי שקורה עכשיו. במקרה הזה, גם אם הביטוי "ביבי הוא רק הממשלה" אמיתי, זה לא נובע ממידע שיש לי במצב הזה (לעומת רע יודע לוגיקה, שאני יכול להסיק מעצם המצב). כלומר, במקום לדגול בעולמות אפשריים שלמים ועקביים, אנחנו עובדים בקטן יותר, בעולמות קטנים וחלקיים.
איך נדע מתי אפשר להסיק בכל מצב? ישנו יחס תאימות C, ומצבים תואמים ביניהם כך שS(1) C S(2). C היא יחס סימטרי - אם S1 מתאים לS2 אז גם S2 מתאים לS1. באופן מצער, אנחנו לא מניחים שכל מצב מתאים עם עצמו - ישנם מציבים עם סתירה פנימית.
בלוגיקה רלוונטית, A \to B יהיה נכון רק אם לA ולB יש קשר תוכני - קרי שיש להם לפחות פסוק אטומי משותף אחד. זה, אם להגיד בעדינות, מסובך מאוד ושנוי במחלוקת, אבל אינטואיטיבי מאוד - אני יכול להסיק רק בין דברים קשורים.
ניהיליזם?
עד כה נחלקנו למוניזם (יש סט אחד של חוקי מחשבה) ופלורליזם (יש כל מיני לוגיקות קשורות או לא קשורות). אבל יש עמדה נוספת, מאוד לא פופולרית - ניהילזם.
נגיד ש -
A, A\to B \therefore B
אבל אפשר לתת גם את הדוגמה הבאה (McGee). נניח ויש שלושה מועמדים לראשות הממשלה - נתניהו, בנט, וגולן. נצרין - אם נתניהו לא ינצח, אז (אם בנט לא ינצח, גולן ינצח).
A - נתניהו לא ינצח B - אם בנט לא יינצח (C) (B) אז גולן ינצח
קיבלנו את ההנחות. אבל אם גולן ינצח, לא נגיד שזה כנראה כי נתניהו לא ניצח. זהו משפט תנאי נוגד מציאות - כולם מסכימים שמשהו לא בסדר אבל על הנייר אין משהו כזה. אם אפילו לזה יש דוגמה נגדית - אולי אין כללי היסק טובים בכלל? האם פשוט כלום לא מוביל לכלום, אף מסקנה לא נובעת מאף הנחה? לכל תכסיס לוגי יש דוגמת נגד, אז למה בכלל?
-
זוהי בעיית האימוץ העכשווית, ונדוש בה בהמשך. MIND הקדישו לה גיליון שלם ב2024. ↩︎
-
בארה"ב - relevance, באוסטרליה - relevant, וזה חשוב כי הרבה מההוגים אוסטרלים. ↩︎