221 lines
6.3 KiB
Markdown
221 lines
6.3 KiB
Markdown
---
|
||
title: לוגיקה טמפורלית
|
||
tags:
|
||
- שנה_ג
|
||
- סמסטר_א
|
||
- לוגיקה
|
||
- לוגיקה_מתקדמת
|
||
- לוגיקה_טמפורלית
|
||
description: לוגיקה, בזמן!
|
||
summary: לוגיקה, בזמן!
|
||
---
|
||
ראינו הרבה משפטים כמו:
|
||
|
||
|
||
!!! is-info ""
|
||
כל היוונים הם בני תמותה
|
||
|
||
סוקראטס הוא יווני
|
||
|
||
---
|
||
|
||
סוקראטס בן תמותה
|
||
|
||
|
||
אבל יש כאן בעיה. סוקראטס *היה* יווני.
|
||
|
||
אנחנו משחקים כאן על *Τense*: אנחנו רוצים לדעת לדבר על זמנים שונים. נעשה זאת בשפת תחשיב הפסוקים וסימנים חדשים -
|
||
|
||
- $Pα$
|
||
|
||
$α$ היה אמיתי בנקודה כלשהי בעבר
|
||
|
||
- $Fα$
|
||
|
||
$α$ יהיה אמיתי בנקודה כלשהי בעתיד
|
||
|
||
- $Gα$
|
||
|
||
$α$ יהיה אמיתי בכל נקודה בעתיד
|
||
|
||
- $Hα$
|
||
|
||
$α$ היה אמיתי בכל נקודה בעבר
|
||
|
||
|
||
!!! info "דוגמה"
|
||
1. Mary is walking - $q$
|
||
2. Mary walked - $Pq$
|
||
3. Mary will walk - $Fq$
|
||
4. Mary had walked - $P(Pq)$
|
||
5. Mary will have walked - $F(Pq)$
|
||
6. You are still young, but you will not always be so - $Pq \land \neg Gq$
|
||
7. I'm faithful to you, and I will always be - $Pq \land Gq$
|
||
8. John has read Harry Potter, and Joe has too - $Pq \land Pz$
|
||
|
||
|
||
!!! success "ראו גם"
|
||
האם יש בכלל זמן? מקטאגרט כותב שלא -
|
||
[Τhe Unreality of Time (McTaggart)](/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/time.pdf)
|
||
|
||
וגם [שפינוזה](/פילוסופיה/חדשה/שפינוזה/אתיקה).
|
||
|
||
## מערכות בסיסית
|
||
|
||
1. CL
|
||
2. $G (α \to β) \to (Gα \to Gβ)$
|
||
3. $G (α \to β) \to (Hα \to Hβ)$
|
||
|
||
4. $α \to Gpα$
|
||
|
||
אם α אמיתי, אז בכל נקודה בעתיד יהיה נכון שα בנקודה כלשהי בעבר (*ההווה הוא העתיד של העבר והעבר של העתיד*[^1]).
|
||
|
||
5. $α \to HFα$
|
||
|
||
|
||
המערכת, שהגה Arthur Prior[^2]:
|
||
|
||
|
||
!!! is-info "הגדרה"
|
||
מודל טיפוסי הוא שלישיה
|
||
$Μ=<Ζ,Β,v>$ כאשר:
|
||
|
||
$Z$ - קבוצה של נקודות בזמן
|
||
|
||
$B$ - יחס של קבוצה בזמן. לכל שתי נקודות בזמן אפשר לשאול אם $t1Bt2$
|
||
|
||
$v$ - פונקציית הערכה. לכל פסוק אטומי $P$ ונקודה $t=Z$:
|
||
|
||
$v(t,p)$ = ערך האמת של $p$ ברגע $t$
|
||
|
||
תנאי האמת לאופרטורים:
|
||
|
||
$v(t,Pα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ t'Bt\ and\ v(t',α) = Τ$
|
||
|
||
$v(t,Fα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T$
|
||
|
||
$v(t,Gα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T$
|
||
|
||
$v(t,Hα) = T\ if\ t' \in Z\ so\ that\ tBt'\ and\ v(t',α) = T$
|
||
|
||
|
||
## טענות
|
||
|
||
- $Μ \models α if\ v(t,α) = Τ\ for\ every\ t \in Z$
|
||
|
||
### טרנזיטיביות
|
||
|
||
בכל מבנה טמפורלי $M$ בו $B$ טרנזיטיבי -
|
||
|
||
$Μ \models Hα \to HHα, Μ \models Gα \to GGα$
|
||
|
||
|
||
### התחלה
|
||
לזמן יש התחלה -
|
||
|
||
$Η(p \land \neg p) \lor PH(p \land \neg P)$
|
||
|
||
### סוף
|
||
|
||
לזמן יש סוף -
|
||
|
||
$FG(p\land \neg p) \lor G(p\land \neg p)$
|
||
|
||
|
||
(שניהם משחקים על זה שלפני הזמן ואחריו סתירות היו אמיתיות: אין דוגמת נגד)
|
||
|
||
|
||
### לינאריות
|
||
|
||
הזמן הוא לינארי -
|
||
|
||
זמן ייקרא **לינארי** אם אין בו פיצולים. קרי, לכל שתי נקודות $t1, t2$:
|
||
|
||
- הן אותו הרגע ($t1=t2$)
|
||
- $t1$ קדם ל $t2$
|
||
- $t2$ קדם ל $t1$
|
||
|
||
|
||
$Μ \models ( Fα \land Fβ) \to (F(α \land β) \lor F(A \land Fβ)) \lor F(β \land Fa)$
|
||
|
||
|
||
|
||
אם אלפא יקרה בעתיד וביטא יקרה בעתיד, או שהם יקרו באותו הרגע, או שאלפא יקרה לפני בטא, או שבטא יקרה לפני אלפא.
|
||
|
||
|
||
### בדידות
|
||
|
||
זמן ייקרא **בדיד** (דיסקרטי) אם לכל נקודה בזמן, יש נקודה שהיא זו שקדמה לה.
|
||
|
||
כלומר, לכל $t1$ יש $t2$ כך ש$t2Bt1$ וגם אין $t3$ כך ש -
|
||
$t3Bt1 \land t2Bt3$
|
||
|
||
$Μ \models (α \land Gα) \to PGα$
|
||
|
||
$Μ \models (α \land Hα) \to FHα$
|
||
|
||
### צפיפות
|
||
|
||
זמן ייקרא **צפוף** אם לכל שתי נקודות $t1,t2$ כך ש
|
||
$t1Bt2$
|
||
|
||
יש $t3$ כך ש- $t3Bt2$ וגם $t1Bt3$
|
||
|
||
בתמצית, *בין כל שתי נקודות יש נקודה שלישית*[^3].
|
||
|
||
$Μ \models Fα \to FFα$
|
||
|
||
$Μ \models Pα \to PPα$
|
||
|
||
|
||
## הטיעון של דיאדורוס
|
||
|
||
[אריסטו](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו) סבר שהעבר סגור - בלתי ניתן לשינוי - אבל העתיד פתוח ([מחר יתקיים קרב ימי](/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת#דו-ערכי)).
|
||
|
||
|
||
מול אריסטו ניצב דיאדורוס כרונוס[^1] חושב שיש סתירה פנימית בין שתי הטענות של אריסטו. הוא מניח שתי הנחות שאריסטו אמור לקבל:
|
||
|
||
1. העבר הכרחי.
|
||
מה שהיה, היה - נגמר, לא ניתן לשינוי
|
||
|
||
2. אם משהו בלתי אפשרי ($P$) נגרר על ידי משהו אחר ($Q$), אז גם המשהו האחר ($Q$) בלתי אפשרי.
|
||
|
||
נניח ואנחנו מדברים על צדף.
|
||
|
||
- $P$ - הצדף לא נראה ואף פעם לא ייראה
|
||
|
||
- בעבר נכון "בעתיד $P$".
|
||
|
||
אבל העבר הכרחי. לכן,
|
||
|
||
- בהכרח בעבר "בעתיד $P$"
|
||
|
||
כלומר,
|
||
|
||
- לא אפשרי שבעבר "בעתיד לא $P$"
|
||
|
||
אבל, אם נניח כמו אריסטו שהעתיד פתוח, אז אפשרי שלא $P$ ($\neg P$). אזי ממילא:
|
||
|
||
- "בעתיד לא $P$" - אפשרי
|
||
|
||
וכך נובע דטרמיניזם!
|
||
|
||
!!! warning "מה?"
|
||
**אם העבר הכרחי**, ו**העבר טוען טענות לגבי העתיד**, אז הרי שאם טענו משהו לגבי העתיד בזמן עבר, או שקיבענו את העתיד (במידה והטענה מתממשת) או ששינינו את העבר (במידה והטענה לא מתממשת); זו בעיה רצינית.
|
||
|
||
$$\begin{align}
|
||
A: Pα \to \neg \Diamond \neg Pα (\Diamond Pα) \\
|
||
Β: \Box(α \to β) \to (\neg \Diamond β \to \neg \Diamond α)\ (Axiom\ K)\\
|
||
D: α \to \neg P \neg Fα \\
|
||
E: (\neg α \land \neg Fα) \to P \neg Fα\ (Determinism)\\
|
||
\therefore \\
|
||
C: (\neg α \land \neg Fα) \to \neg \diamond α \\
|
||
\end{align}$$
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
[^1]: מי אמר שיעור פילוסופיה ולא קיבל?
|
||
[^2]: איזה שם *מעולה* לפילוסוף שעוסק בזמן.
|
||
[^3]: [קאנט](/פילוסופיה/חדשה/קאנט) אמר את זה.
|