study/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md

title: מודלי קריפקה

סול קריפקה היה מגדולי הלוגיקנים בכל הזמנים. תרומתו הגדולה, אולי הגדולה ביותר, הגיעה בגיל 15. מה הוא אומר?

!!! is-info "" רע לובש ז'קט. האם אפשרי עבורו לפשוט אותו? כן. רע פושט את הז'קט. האם עכשיו אפשרי עבורו לפשוט את הז'קט? לא; קריפקה אומר שאפשרות הוא מושג יחסי.

P = Wearing a jacket
Q - Taking of the jacket

Situaion 1: Wearing the jacket
P = T
Q = F

◇Q = T

Situation 2: 
P = F
Q = T

◇Q = F

כלומר, מצב 2 נגיש (accessible) ממצב 1, אבל לא כל הדברים ממצב 1 נגישים ממצב 2.

!!! is-info "הגדרה" מודל קריפקה הוא רביעיה סדורה:

$Μ = <W, @, v, R>$

 (הוספנו $R$) כאשר:

$W$ - קבוצה של עולמות אפשריים

$@ \in W$ - העולם הממשי

$R$ - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים:

$WRw$ 

 משמע $W$ נגיש ל $w$

$V$ - פונקציית הערכה. 

$v(w,P)$ - הערך של P בעולם $w$.

$v(W, \not A)$, $v(W, A \to B)$ - כמו במודלי קארנפ

 $v(w, \Box A) = T$ אם לכל $w \in W$ כך ש $wRw$: $v(w,A) = T$
 
  $v(w,\Diamond A) = T$ אם יש $w \in W$ כך ש $wRw$: $v(w,A) = T$

לכל מודל קריפקה M: M \models \Box (A \to B) \to (\Box A \to \Box B) (אקסיומה K) כלומר,

v(@,K) = T

הוכחה:

נניח בשלילה שיש מודל M כך ש Μ \nvDash Κ

כלומר, v(@,K) = F

לכן,

v(@, □(Α -> Β)) = Τ
v(@, □Α -> □Β) = F

1. נתון v(@, □( Α -> Β)) = Τ ולכן לכל w \in W כך ש @Rw

   (w, A-> B) = T$

   כלומר, בעולם @, A הכרחי

2. נתון v(w, □A) = T ולכן לכל w \in W כך ש @Rw:

   (w, B) = T$

   כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי

מ1 ו2 נובע:

v(@, □B) = T

בסתירה להנחה.

יחסי נגישות

הנגישות של העולמות במודלי קריפקה מתחלקת לכמה סוגי יחסים:

• רפלקסיביים - כל עולם יכול לגשת לעצמו.

\forall w \in W,\ wRw

כלומר, אם \Box Α, אז A אמיתי בעולם הממשי.

• טרנזיטיביים - אם w1 יכול לראות את w2 וw2 יכול לראות את w3 אזי w1 יכול לראות את w3

  <20>w1​, w2​, w3​∈W ,(w1​Rw2​ ∧ w2​Rw3​) \to w1​Rw3​$$

כלומר, אם \Box A, אז A אמיתי בכל העולמות הנגישים, לרבות העולם הממשי.

• סימטריים - אם w1 יכול לראות את w2 אז w2 יכול לראות את w1.

\forall w1​,w2 \in W, w1​Rw2 ​\to w2​Rw1

כלומר, כל העולמות נגישים האחד לשני

• סדרתיים - כל עולם יכול לגשת לפחות לעולם אחד נוסף כך ש-

\forall w \in W,\exists v\to W\ so\ that\ wRv

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות רפלקסיבי מתקיים: Μ ⊨ Τ

(כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי)

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות סדרתי מתקיים: Μ ⊨ D

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות טרנזיטיבי מתקיים M ⊨ S4

(האקסיומה, לא המערכת).

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות סימטרי מתקיים M ⊨ B

$$Β:\ Α \to \Box \Diamond Α$$

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות יהיה סימטרי וטרנזיטיבי מתקיים

$$Μ \models \Diamond Α \to \Box \Diamond Α$$

מסגרת

ומה לגבי מודל שיש בו עולם יחיד, שבו A=T? האם □Α \to Α?

!!! is-info "הגדרה" מסגרת C היא קבוצה של מודלי קריפקה שחולקים את אותם עולמות אפשריים ואותו יחס נגישות.

לעיתים נסמן:

$C = <W,R>$

משפטי השלמות של קריפקה

I.F.F¹

\begin{align}
⊨(K)A\ Ι.f.f\ ⊢(K)A \\
⊨(ref)A\ Ι.f.f\ ⊢(T)A \\
⊨(serial)A\ Ι.f.f\ ⊢(D)A \\
⊨(ref + trans)A\ Ι.f.f\ ⊢(S4)A \\
⊨(Sym)A\ Ι.f.f\ ⊢(b)A \\
⊨(equiv)A\ Ι.f.f\ ⊢(S5)A \\
\end{align}

המשפטים האלו הם מה שהפכו את קריפקה לקריפקה, והם נאותים ושלמים. הם מראים שאם יש לי הוכחה במסגרות מודלים מסוימות (סדרתיות, סימטריות וכו'), הרי שלא תהיה דוגמה נגדית, ולהיפך - אם אין דוגמה נגדית, יש הוכחה.

הוכחת הנאותות

משפט הנאותות - אם ⊢(Σ)A, אזי אין מודל במסגרות הרלוונטיות M כך שΜ ⊭ Α.

!!! is-info "הגדרה" בהינתן קבוצת פסוקים Δ -

$$□Δ = {B\ |\ \Box B \in Δ}$$

עובדות:

1. לכל Γ, Σ עקבית-מקסימלית

□Δ != Ø

2. לכל Δ,Σ עקבית כך ש

\neg \Box B \in Δ

□Δυ[\neg Β]\ is\ Σ-consistent

---

1. אם ורק אם ↩︎