study/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/קריפקה.md

title: מודלי קריפקה

סול קריפקה היה מגדולי הלוגיקנים בכל הזמנים. תרומתו הגדולה, אולי הגדולה ביותר, הגיעה בגיל 15. מה הוא אומר?

!!! is-info "" רע לובש ז'קט. האם אפשרי עבורו לפשוט אותו? כן. רע פושט את הז'קט. האם עכשיו אפשרי עבורו לפשוט את הז'קט? לא; קריפקה אומר שאפשרות הוא מושג יחסי.

P = Wearing a jacket
Q - Taking of the jacket

Situaion 1: Wearing the jacket
P = T
Q = F

◇Q = T

Situation 2: 
P = F
Q = T

◇Q = F

כלומר, מצב 2 נגיש (accessible) ממצב 1, אבל לא כל הדברים ממצב 1 נגישים ממצב 2.

!!! is-info "הגדרה" מודל קריפקה הוא רביעיה סדורה:

	Μ = <W, @, v, R>
	
 (הוספנו `R`) כאשר:

W - קבוצה של עולמות אפשריים

@ ∈ W - העולם הממשי

R - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים:

	wRw 

 משמע W נגיש ל W

V - פונקציית הערכה. 

v(w,P) - הערך של P בעולם W.

v(W, ~A), v(W, A-> B) - כמו במודלי קארנפ

	 v(w,□A) = T אם לכל w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T
 
	  v(w,◇A) = T אם יש w ∈ W כך ש wRw: v(w,A) = T

לכל מודל קריפקה M: M ⊨ □ (A -> B) -> (□A -> □B) (אקסיומה K) כלומר,

v(@,K) = T

הוכחה:

נניח בשלילה שיש מודל M כך ש Μ ⊭ Κ

כלומר, v(@,K) = F

לכן,

v(@, □(Α -> Β)) = Τ
v(@, □Α -> □Β) = F

1. נתון v(@, □( Α -> Β)) = Τ ולכן לכל w∈ W כך ש @Rw

   v(w, A-> B) = T כלומר, בעולם @, A הכרחי

2. נתון v(w, □A) = T ולכן לכל w∈ W כך ש @Rw:

   v(w, B) = T

   כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי

מ1 ו2 נובע:

v(@, □B) = T בסתירה להנחה.

יחסי נגישות

הנגישות של העולמות במודלי קריפקה מתחלקת לכמה סוגי יחסים:

• רפלקסיביים - כל עולם יכול לגשת לעצמו.

    ∀w∈W,wRw
  

כלומר, אם □Α, אז A אמיתי בעולם הממשי.

• טרנזיטיביים - אם w1 יכול לראות את w2 וw2 יכול לראות את w3 אזי w1 יכול לראות את w3

    ∀w1​, w2​, w3​∈W ,(w1​Rw2​ ∧ w2​Rw3​) -> w1​Rw3​
  

כלומר, אם □Α, אז A אמיתי בכל העולמות הנגישים, לרבות העולם הממשי.

• סימטריים - אם w1 יכול לראות את w2 אז w2 יכול לראות את w1.

    ∀w1​,w2​∈W,w1​Rw2​⟹w2​Rw1​
  

  כלומר, כל העולמות נגישים האחד לשני

• סדרתיים - כל עולם יכול לגשת לפחות לעולם אחד נוסף (s.t¹ ).

    ∀w∈W,∃v∈W s.t. wRv
  

---

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות רפלקסיבי מתקיים: Μ ⊨ Τ

(כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי)

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות סדרתי מתקיים: Μ ⊨ D

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות טרנזיטיבי מתקיים M ⊨ S4 (האקסיומה, לא המערכת).

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות סימטרי מתקיים M ⊨ B

`Β: Α-> □◇Α`

!!! is-info "הגדרה" בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות יהיה סימטרי וטרנזיטיבי מתקיים

`Μ ⊨ ◇Α -> □◇Α`

מסגרת

ומה לגבי מודל שיש בו עולם יחיד, שבו A=T? האם □Α -> Α ?

!!! is-info "הגדרה" מסגרת C היא קבוצה של מודלי קריפקה שחולקים את אותם עולמות אפשריים ואותו יחס נגישות.

לעיתים נסמן:

	C = <W,R>

משפטי השלמות של קריפקה

I.F.F²

	⊨(K)A Ι.f.f ⊢(K)A
		
	⊨(ref)A Ι.f.f ⊢(T)A
	
	⊨(serial)A Ι.f.f ⊢(D)A

	⊨(ref + trans)A Ι.f.f ⊢(S4)A

	⊨(Sym)A Ι.f.f ⊢(b)A

	⊨(equiv)A Ι.f.f ⊢(S5)A

המשפטים האלו הם מה שהפכו את קריפקה לקריפקה, והם נאותים ושלמים. הם מראים שאם יש לי הוכחה במסגרות מודלים מסוימות (סדרתיות, סימטריות וכו'), הרי שלא תהיה דוגמה נגדית, ולהיפך - אם אין דוגמה נגדית, יש הוכחה.

הוכחת הנאותות

משפט הנאותות - אם

	 ⊢(Σ)A 

אזי אין מודל במסגרות הרלוונטיות M כך ש

	 Μ ⊭ Α

!!! is-info "הגדרה" בהינתן קבוצת פסוקים Δ -

		□Δ = {B | □B ∈ Δ}

עובדות:

1. לכל Γ, Σ עקבית-מקסימלית □Δ != Ø

2. לכל Δ,

Σ עקבית כך ש

~□B ∈ Δ

□Δυ[~Β] is Σ-consistent

---

1. כך ש ↩︎

2. אם ורק אם ↩︎