7.9 KiB
!!! info "מאמרים" Benacerraf, 1965, Field, 1998
מתמטיקה היא ענף מוזר. נדמה שהיא מספקת לנו ידע ודאי, בטוח וקבוע. מצד שני, הוא עוסק בישויות שנדמות לנו כמופשטות לחלוטין - ישים, קבוצות. חבורות, פונקציות - שלא ברור אם וכיצד הן קיימות, ואיך נוכל לדעת משהו אודותיהן.
איך מיישבים את זה?
ריאליזם מתמטי
ריאליזם מתמטי קובע שהיישים המתמטיים אכן קיימים, וככה דוחה את האתגר המטאפיזי - אם כי בזאת הוא חייב לנו הסבר אודות היישים האלה. יש להם מצבי עניינים? תכונות? וזאת מעבר לבעיה האפיסטמולוגית (אחי, מאיפה לך?, שנשים בצד).
למשל, נגיד שהיש "1" והיש "2" והפונקציה "חיבור" קיימים במצב עניינים כך שחיבור 1 ועוד 1 שווה ל2; זהו מצב עניינים מתמטי.
הטיעון מן המתמטיקה
הטיעון מן המתמטיקה מתבסס על משפטים מתמטיים מוכחים ומסקנותיהם האונטולוגיות.
למשל -
משפט: ישנם אינסוף מספרים ראשוניים.
הוכחה:
-
נניח שישנם רק מספר סופי של מספרים ראשוניים: p₁, p₂, p₃, ..., pₙ.
-
נגדיר מספר חדש: P = (p₁ × p₂ × p₃ × ... × pₙ) + 1 כלומר, מכפלת כל המספרים הראשוניים הקיימים ועוד 1.
נתבונן במספר P. הוא חייב להתחלק במספר ראשוני כלשהו (כי כל מספר טבעי גדול מ-1 מתחלק במספר ראשוני כלשהו). אבל אם ננסה לחלק את P בכל אחד מהמספרים הראשוניים שברשימה שלנו (p₁, p₂, וכו'), נקבל תמיד שארית 1; קרי, חייב להיות מספר ראשוני אחר, שאינו ברשימה שלנו, שמחלק את P. זו סתירה להנחה המקורית שלנו שהרשימה כוללת את כל המספרים הראשוניים.
המסקנה: ישנם אינסוף מספרים ראשוניים.
ואם יש אינסוף מספרים ראשוניים, כנראה שיש גם אינסוף מספרים בכלל; ואם יש אינסוף מספרים, נראה שיש מספרים בכלל; ואם יש מספרים, אז ריאליזם מתמטי הוא עמדה נכונה.
במילים אחרות - אם ההוכחה המתמטית הזו נכונה, ואנחנו לוקחים אותה כפשוטה (לא כמשל או כאילו היא מדברת על יישים שונים ממספרים), הרי שהיא מוכיחה את קיומם של מספרים. כשאנחנו מניחים שקביעות מתמטיות הן אמיתיות, ושהן מתייחסות ליישים מתמטיים ממשיים, אנחנו מחויבים לקבל את קיומם של יישים אלה.
להמחשה - נניח שיש 500 מיליון חתולים בעולם.
אם זו טענה אמיתית, היא מחייבת שיש חתולים; אם אין חתולים היא סתירתית. קרי, אם אני מקבל שיש 500 מיליון חתולים, אני מקבל שיש חתולים; אם אני מקבל שיש מספרים ראשונים, אני מקבל שיש מספרים.
טיעון הנחיצות של קווין-פאטנם
טיעון הנחיצות מדבר במובלע על מדידה. מדידה של משהו היא התאמה של מספרים ליישים הנמדדים, והיא "טובה" כשיש איזומורפיזם1 בין המספרים ליישים הנמדדים, קרי: אני יכול ללמוד משהו בין הדברים הנמדדים השונים לבין עצמם לבין היחסים בין המספרים הנמדדים.
למשל, קילוגרמים הם פונקציה המתארת מסה של יישים והתאמתם למספר. משהו שמשקלו קילוגרם אחד מקבל את המספר אחד, ומשהו שמשקלו שני קילוגרמים מקבל את המספר שניים; כשם שקילו אחד הוא מחצית משני קילו, כך גם אחד הוא חצי משתיים.
דוגמה נוספת. ניתן למדוד אורכים בסולם מטר - פונקציה שמחזירה כל דבר בעל אורך של מטר 1, ולכל דבר בעל אורך של שני מטרים 2. היחס בין מטר לשני מטר זהה ליחס בין היישים באורך 1 מטר ולבין היישים באורך 2 מטר; העובדה הפיזיקלית מתאימה ליחסים בין 1 ל2. המדידה היא "טובה" אם היא מתוקפת אמפירית - אם אניח יש של 2 מטר, באמת אוכל לכסות אותו בדיוק עם שני יישים של 1 מטר, במציאות.
למה זה רלוונטי? קווין ופאטנם אומרים - מדידות הן פונקציות: הקלט שלה היא משהו נמדד, והפלט הוא מספר.
אם המדע מתיימר לאמת אמפירית, והוא עושה זאת באמצעות מדידה, הרי שהוא מתחייב לקיומה של מדידה - והיות שזו נסמכת על מספרים - טווח כל המדידות - הרי שהמדע מתחייב לקיומם של מספרים.
לדוגמה - משוואת כוח הכבידה של ניוטון -
F = G \frac{m_1 m_2}{r^2}
מהצד האחד, כוח פיזיקלי (F). מהצד השני, מספרים. הפיזיקאי הממוצע לא יטען שכוח הכבידה F הוא הוא "מספר"; הוא כוח פיזיקלי. אבל בכל זאת אנחנו מניחים שהשניים שווים - הקישור חייב להיות פונקציית מדידה, ובכדי לגשר על שני היישים האלה - כוחות ומספרים - היא חייבת להיות אמיתית.
חוק הכבידה של ניוטון קדם-מניח שיש עוצמה של כוחות, מסות ומרחקים, שניתנים למדוד במספרים (ממשיים), ושיש משפטים אמיתיים כמו המספר שמבטא את הכוח הוא $r1$, וכך הלאה - וכך מתחייב לקיומם של מספרים. יתרה מכך - הוא מניח שאפשר למדוד עוצמות של כוח, מסה וכדומה, ובזאת מניח גם את קיומן של פונקציות מדידה - של מרחק, כוח וכדומה.
(ר' הרחבת פונקציית המדידה בסיכום, 19.2).
קרי - אם אתה מאמין באמיתות המדעיות הטובות ביותר שלנו, הרי שאתה קדם מניח את קיומן של פונקציות מדידה, ומספרים; כל עוד אתה מאמין במדע, אתה מאמין בריאליזם מתמטי.
אבל, יש בעיה.
בעיית הזיהוי של בנאסראף
אפילו אם יש ישים מתמטיים, אין לנו מושג איזה ישים הם; אנחנו לא יכולים להגיד עליהם שום דבר. בנאסראף מדגים עם מספרים טבעיים - ℕ = \{1,2,3,4,...\}
אם אני מקבל את האמיתות הפיזיקליות - אני עדיין לא יודע להגיד שום דבר אודות מספרים טבעיים.
מספרים טבעיים מתוארים באריתמטיקה ("חשבון"), תורה מתמטית עם אקסיומות וכל מה שנובע לוגית מהן.
פון נוימן מספר לנו שמספרים טבעיים הם קבוצות - 0 הוא קבוצה ריקה, 1 הוא הקבוצה שחבר בה רק חבר אחד ויחיד - הקבוצה הריקה;
-
שווין צורני - ἴσος (שווה) + μορφή (צורה). ↩︎