study/פילוסופיה/לוגיקה/מודאלית.md

title: לוגיקה מודאלית

**לוגיקה מודאלית** היא לוגיקה שעוסקת במונחי ה**אפשרות** (◇) וה**הכרח** (□) - מה שעוסקים בו ב[מטאפיזיקה](/פילוסופיה/מטאפיזיקה).

## אריסטותלית

[אריסטו](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו/מטאפיזיקה) מחלק את היישים והתכונות לשלוש סוגים:

- אפשרי (יכולים להיות קיימים, אבל לא קיימים כרגע)
- אקטואלי (קיימים בפועל)
- הכרחי (לא יכולים לא להיות קיימים)[^1]

כלומר - 

`◇A - יכול לרדת גשם היום`

`□A - חייב לרדת גשם היום`

`A - יורד גשם היום`


אפשרות והכרח עומדים ביחס - מה שהכרחי, שלילתו לא יכולה להיות אפשרית - 

`□A ≡ ~◇~A`

ומה שאפשרי, לא ייתכן ששלילתו הכרחית - 

`◇A ≡ ~□~A`


!!! info ""
	אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
	
	הבקבוק ריק (p)
	
	---
	
	הבקבוק לא יכול להיות מלא.
	
	---
	
	זה נשמע כמו `□~q`, `~◇q`
	
	אבל **ההכרח חל רק על הקשר!** - לא על הרישא ולא על הסיפא!
	
	ההצרנה הנכונה היא:
	
	 □(p -> ~q)[^2]


בנוגע לתכונות, יש תכונות מהותיות ותכונות לא מהותיות, שחשוב להבדיל ביניהן. אם ניקח ממני את התכונה של יד, עדיין אהיה אני, מצער ככל שהדבר יהיה - אם ניקח ממני את התכונה של ראש, כנראה שלא.

## מודרנית

לוגיקה מודאלית מודרנית מתחילה עם פסוקים.  נחזור לדוגמה שלנו.

!!! info ""
	אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
	
	הבקבוק ריק (p)
	
	□(p -> ~q)

עדיין מרגיש לנו שמסתתר כאן מודוס פוננס. איך נניח הנחות חזקות יותר כדי להנביע אותו? הדוגמה עם הבקבוק מפספסת.

!!! info ""
	בהכרח האפיפיור רווק (P)
	בהכרח: אם האפיפיור רווק אז הוא לא נשוי (Q)
	---
	בהכרח: האפיפיור לא נשוי
	
	משמע:
	□P
	
	□(P -> ~Q)
	
	---
	
	□~Q


איך נגיע לזה? אקסיומה נוספת - **אקסיומה K**[^3]

### מערכת K

!!! info "אקסיומה K"
	
		□ (Α -> Β) -> ( □Α -> □Β )
	
	 אם בהכרח (A אז B), אז (אם A בהכרח אז B בהכרח)





האקסיומה ניצבת בבסיס **מערכת K ללוגיקה מודאלית**, שלה שלושה מרכיבים:

1.  האקסיומות וכללי ההיסק של תחשיב הפסוקים (CL)
2. אקסיומה K
3.  כלל ההיסק Necessitation (*הכרחה?*) - Α -\> □Α
	- מוגבל **אך ורק לגזירות בלי הנחות**

### מערכת T

1. CL
2. K
3. Nec.
4. אקסיומה T:
	
		□Α -> Α


### מערכת D

בהקשרים אתיים, יש את **מושג החובה** - שהוא גם מושג של *הכרח*. במושג הזה, *לא נכון* ש□A -> A!

(יש חובה להתנהג באופן מסוים - היא הכרחית - אבל ייתכן שלא ממלאים אותה!)


בהקשרים אתיים, אנחנו צריכים אפוא חלופה לT.

	□A -> ◇A

כלומר, **אם חובה שA, *אפשר* שA**.

זוהי מערכת D, מלשון *דאונטית*.

יש גם מובן עמוק יותר למושג החובה - שנוי במחלוקת:

		□(□A -> A)

כלומר, אם יש חובה, חובה לקיים אותה.


### כפילויות?

ומה נעשה עם דברים כמו:

		□□A
		
		□◇A
		
		◇◇A

וכו' וכו'?

אנחנו רוצים לוותר על הכפילויות, **בלי להגיע** לאקסיומה:

		A -> □A
#### מערכת S4

הפתרון הוא **אקסיומה S4**:

		□A -> □□A

בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים.

1. T
2. אקסיומה S4.
3. עובדות S4:

		1.  □A ≡ □□A
		
		2. ◇A ≡ ◇◇A
		
		3. □◇□◇A ≡ □◇A
		
		4. ◇□◇□A ≡ ◇□A


משתמשים במערכת S4 בהקשרים אפיסטמיים - *אם אני יודע משהו אני יודע שאני יודע משהו*. 

#### מערכת S5

ביטויים כמו 
		□◇A

		◇□A
עדיין מעצבנים. 

הפתרון הוא **מערכת S5**:

1.  T
2. 
		◇A -> □◇A

עובדות בS5:

a. 

		◇A ≡ □◇A 
	
b.

		□A ≡ ◇□A

c. 
	
		⊢(s5) □A -> □□A
כלומר, אקסיומה S4 יכיחה בS5.


### מערכת B

1. מערכת T
2. 
		 
		 Α -> □◇A

עובדה: B יכיחה בS5. למה? בגלל ש
		Α -> ◇A 

יכיח בT.

לכן,

		◇A -> □◇A


לכן אפשר להוכיח

		A -> □◇A



## אבל רגע, S5

S5 היא החזקה בכל המערכות.

בפילוספיה מקובל לחשוב שS5 היא זו שתופסת את מושג ההכרח **המטאפיזי**.


### סמנטיקה

**רודולף קארנפ**, מה[פוזיטיביסטים הלוגיים](/פילוסופיה/לשון/פוזיטיבים) כתב ב1948 את *Μeaning & Necessity*. 

 נבחן פסוק כמו - 


> רווק הוא גבר לא נשוי


למה זה עובד? זה לא נכון כי עשינו תצפית וראינו שכל הרווקים לא נשויים; זה נכון כי זו ההגדרה הלשונית. **המובן** של רווק זה שהוא לא נשוי. מה זה אומר *המובן* של רווק? קרנפ גורר פנימה את מושג ההכרח. כלומר, אם אתה טוען שרווק הוא נשוי, אתה לא *טועה* - אתה *משנה את ההגדרה* - מדבר בשפה אחרת!

אם נגדיר רווק כA, זה לא ש□A אם ורק אם משהו - זה שA, בהיותו A הוא טאוטולוגיה.

| P   | Q   | R   | PvQ | ~P  | Pv~P | □P  | ◇P  |
| --- | --- | --- | --- | --- | ---- | --- | --- |
| T   | T   | T   | T   | F   | T    | F   | T   |
| F   | T   | T   | T   | T   | T    | F   | T   |
| T   | F   | T   | T   | F   | T    | F   | T   |
| F   | F   | T   | F   | T   | T    | F   | T   |
| T   | T   | F   | T   | F   | T    | F   | T   |
| F   | T   | F   | T   | T   | T    | F   | T   |
| T   | F   | F   | T   | F   | T    | F   | T   |
| F   | F   | F   | F   | T   | T    | F   | T   |

כל שורה בטבלת האמת מייצגת **מצב עניינים**[^4], או **עולם אפשרי**[^5]. ביטוי שהוא טאוטולוגי הוא ביטוי שנכון בכל עולם אפשרי. 

כלומר, 

□A אמיתי אם בכל שורה A אמיתי

◇A אמיתי אם יש שורה שבה A אמיתי

!!! info "הגדרה"
	1.	**מודל קרנפ** הוא שלישיה סדורה `<M =  <M, @, V` כאשר
	2. @ `∈` W - העולם הממשי
	3. V פונקציית הערכה שנותנת ערך אמת לכל פסוק בשורה בטבלה `v(W,P) = הערך של P בעולם W`
	
		1. 
		
			V(w, ~A) = T if v(w,A) = F

		2.

			 v(w, A->B) if v(w,A) = F or v(w,B) = T
		
		3.
		
			v(w, □A) if in every line w` ∈ W  

				v(w`, A) = T
		
		4.

			v(W, ◇A) = T if there is w` ∈ W 

				v(w`,A) = T

	נאמר שפסוק A תקף-קרנפ אם לכל מודל M לכל עולם אפשרי w ∈ W

		v(w,A) = T



הרעיון הבסיסי הוא **טבלאות אמת** - עם תנאי אמת עבור ביטויי אפשרות והכרח.

כל שורה בטבלת האמת מייצגת "מודל" - מצב עניינים, או עולם אפשרי.


הבעיה היא ש: 

- כל האקסיומות תקפות קארנפ
- לא S5 - עבור P אטומי P◇ טאואולוגיה (כלומר, כל פסוק שנציב כאן יהיה טאוטולוגיה!) 
- חמור יותר - נציב Q וגם לא Q במקום P - ◇(Q & ~Q) - אבל זה **לא** תקף קארנפ!

את 2 ו3 אפשר לתקן באמצעות מחיקת שורות בטבלת האמת:
נניח וP - יורד גשם, Q - יש עננים


| P     | Q     |
| ----- | ----- |
| T     | T     |
| F     | T     |
| **T** | **F** |
| F     | F     |

אחד המצבים (יש גשם ואין עננים) לא אפשרי! אז מחקנו את השורה שלו מטבלת האמת:

| P         | Q         |
| --------- | --------- |
| T         | T         |
| F         | T         |
| ~~**T**~~ | ~~**F**~~ |
| F         | F         |
זה שהתרחיש שם *קומבינטרית* לא אומר שהוא אפשרי - ולכן אנחנו מוחקים אותו.

השאלה *איזה שורות אני מוחק* תלויה בנקודת הפתיחה שלי (אני מדבר על גשם, אני בבאר שבע, וכו'). 

מההגדרה של קארנפ נובע:

```
v(W,~A) = T if v(W,A) = F
v(W, A->B) = T if (v(W,A) = F or v(W,B) = F)
v(W,□A) = T if for ALL w`∈W v(w`,A) = T
```

אבל את הבעיה האחרונה לא הצליח קארנפ לפתור, ונשלח לתהום הנשייה. ואז, הגיע קריפקה.


### הסמנטיקה של קריפקה

סול קריפקה היה מגדולי הלוגיקנים בכל הזמנים. תרומתו הגדולה, אולי הגדולה ביותר, הגיעה בגיל 15.

רע לובש ז'קט. האם *אפשרי* עבורו לפשוט אותו? כן. רע פושט את הז'קט. האם *עכשיו* אפשרי עבורו לפשוט את הז'קט? *לא*; קריפקה אומר שאפשרות הוא מושג **יחסי**.

```
P = Wearing a jacket
Q - Taking of the jacket

Situaion 1: Wearing the jacket
P = T
Q = F

◇Q = T

Situation 2: 
P = F
Q = T

◇Q = F

```

כלומר, מצב 2 **נגיש** (accessible) ממצב 1, אבל לא כל הדברים ממצב 1 נגישים ממצב 2.

!!! info "הגדרה"
	**מודל קריפקה** הוא רביעיה `Μ = <W, @, v, R>` (הוספנו `R`) כאשר:
	
	W - קבוצה של עולמות אפשריים
	
	@ ∈ W - העולם הממשי
	
	R - יחס נגישות (בינארי) בין עולמות אפשריים:
	
	w\`Rw - W\` נגיש לW
	
	V - פונקציית הערכה. 
	
	v(w,P) - הערך של P בעולם W.
	
	v(W, ~A), v(W, A-> B) - כמו במודלי קארנפ
	
	 v(w,□A) = T אם לכל w\` ∈ W כך ש wRw\`: v(w\`,A) = T
	 
	  v(w,◇A) = T אם יש w\` ∈ W כך ש wRw\`: v(w\`,A) = T


לכל מודל קריפקה M: 
`M ⊨ □ (A -> B) -> (□A -> □B)` (אקסיומה K)
כלומר,

`v(@,K) = T`

הוכחה: 

נניח בשלילה שיש מודל M כך ש `Μ ⊭ Κ`

כלומר, 
`v(@,K) = F`

לכן, 

```
v(@, □( Α -> Β)) = Τ
v(@, □Α -> □Β) = F
``` 

	1. `v(@, □( Α -> Β)) = Τ` ולכן לכל w∈ W כך ש @Rw:
	
	`v(w, A-> B) = T` 
	כלומר, בעולם @, A הכרחי

2. `v(w, □A) = T` ולכן לכל w∈ W כך ש  @Rw:

	`v(w, B) = T`
	כלומר, בעולם @, בהכרח B שקרי

מ1 ו2 נובע:

v(@, □B) = T - בסתירה להנחה.

---
!!! info "הגדרה"
	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות רפלקסיבי מתקיים: `Μ ⊨  Τ`


(כאן הייתה הוכחה, והתעצלתי)


!!! info "הגדרה"
	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות סדרתי מתקיים: `Μ ⊨ D`



!!! info "הגדרה"
	בכל מודל קריפקה M בו יחס הנגישות טרנזיטיבי מתקיים `M ⊨S4` (האקסיומה, לא המערכת).



[^1]: לפי אריסטו, יש רק דבר אחד כזה, והוא האל.
[^2]: זהו כשל לוגי נפוץ אצלנו - אנחנו נוטים לחשוב על משפטי תנאי (אם ככה אז ככה) כהכרחיים, כמו בהצרנה הזו - כשלמעשה יש הרבה מקרים שיש תנאי בלי ההכרח (A -> B) ולא □(A -> B).
[^3]: על שם קריפקי.
[^4]: מ[ויטגנשטיין](/פילוסופיה/לשון/ויטגנשטיין).
[^5]: מ[לייבניץ](/פילוסופיה/חדשה/לייבניץ).