173 lines
4.2 KiB
Markdown
173 lines
4.2 KiB
Markdown
---
|
||
title: לוגיקה טמפורלית
|
||
tags:
|
||
- שנה_ג
|
||
- סמסטר_א
|
||
- לוגיקה
|
||
- לוגיקה_מתקדמת
|
||
- לוגיקה_טמפורלית
|
||
description: לוגיקה, בזמן!
|
||
summary: לוגיקה, בזמן!
|
||
---
|
||
ראינו הרבה משפטים כמו:
|
||
|
||
|
||
!!! is-info ""
|
||
כל היוונים הם בני תמותה
|
||
|
||
סוקראטס הוא יווני
|
||
|
||
---
|
||
|
||
סוקראטס בן תמותה
|
||
|
||
|
||
אבל יש כאן בעיה. סוקראטס *היה* יווני.
|
||
|
||
אנחנו משחקים כאן על *Τense*: אנחנו רוצים לדעת לדבר על זמנים שונים. נעשה זאת בשפת תחשיב הפסוקים וסימנים חדשים -
|
||
|
||
- Pα
|
||
|
||
α היה אמיתי בנקודה כלשהי בעבר
|
||
|
||
- Fα
|
||
|
||
α יהיה אמיתי בנקודה כלשהי בעתיד
|
||
|
||
- Gα
|
||
|
||
α יהיה אמיתי בכל נקודה בעתיד
|
||
|
||
- Hα
|
||
|
||
α היה אמיתי בכל נקודה בעבר
|
||
|
||
|
||
!!! info "דוגמה"
|
||
1. Mary is walking - **q**
|
||
2. Mary walked - `Pq`
|
||
3. Mary will walk - `Fq`
|
||
4. Mary had walked - `P(Pq)`
|
||
5. Mary will have walked - `F(Pq)`
|
||
6. You are still young, but you will not always be so - `Pq & ~Gq`
|
||
7. I'm faithful to you, and I will always be - `Pq & Gq`
|
||
8. John has read Harry Potter, and Joe has too - `Pq & Pz`
|
||
|
||
|
||
!!! success "ראו גם"
|
||
האם יש בכלל זמן? מקטאגרט כותב שלא -
|
||
[Τhe Unreality of Time (McTaggart)](/פילוסופיה/לוגיקה/מתקדמת/time.pdf)
|
||
|
||
וגם [שפינוזה](/פילוסופיה/חדשה/שפינוזה/אתיקה).
|
||
|
||
## מערכות בסיסית
|
||
|
||
1. CL
|
||
2. G (α -> β) -> (Gα -> Gβ)
|
||
3. G (α -> β) -> (Hα -> Hβ)
|
||
|
||
4. α -> Gpα
|
||
|
||
אם α אמיתי, אז בכל נקודה בעתיד יהיה נכון שα בנקודה כלשהי בעבר (*ההווה הוא העתיד של העבר והעבר של העתיד*[^1]).
|
||
|
||
5. α -> HFα
|
||
|
||
|
||
המערכת, שהגה Arthur Prior[^2]:
|
||
|
||
|
||
!!! is-info "הגדרה"
|
||
מודל טיפוסי הוא שלישיה
|
||
|
||
Μ=<Ζ,Β,v>
|
||
|
||
כאשר:
|
||
|
||
Z - קבוצה של נקודות בזמן
|
||
|
||
B - יחס של קבוצה בזמן. לכל שתי נקודות בזמן אפשר לשאול אם t1Bt2
|
||
|
||
v - פונקציית הערכה. לכל פסוק אטומי P ונקודה t=Z:
|
||
|
||
v(t,p) = ערך האמת של p ברגע t
|
||
|
||
תנאי האמת לאופרטורים:
|
||
|
||
1. v(t,Pα) = T if t' ∈ Z so that t'Bt and v(t',α) = Τ
|
||
|
||
2. v(t,Fα) = T if t' ∈ Z so that tBt' and v(t',α) = T
|
||
|
||
3. v(t,Gα) = T if t' ∈ Z so that tBt' and v(t',α) = T
|
||
|
||
4. v(t,Hα) = T if t' ∈ Z so that tBt' and v(t',α) = T
|
||
|
||
|
||
## טענות
|
||
|
||
- Μ ⊨ α if v(t,α) = Τ for every t ∈ Z
|
||
|
||
### טרנזיטיביות
|
||
|
||
בכל מבנה טמפורלי M בו B טרנזיטיבי -
|
||
|
||
Μ ⊨ Hα -> HHα, Μ ⊨Gα -> GGα
|
||
|
||
|
||
### התחלה
|
||
לזמן יש התחלה -
|
||
|
||
Η(p & ~p) v PH(p & ~P)
|
||
|
||
### סוף
|
||
|
||
לזמן יש סוף -
|
||
|
||
FG(p&~p) v G(p&~p)
|
||
|
||
|
||
(שניהם משחקים על זה שלפני הזמן ואחריו סתירות היו אמיתיות: אין דוגמת נגד)
|
||
|
||
|
||
### לינאריות
|
||
|
||
הזמן הוא לינארי -
|
||
|
||
זמן ייקרא **לינארי** אם אין בו פיצולים. קרי, לכל שתי נקודות t1, t2:
|
||
|
||
- הן אותו הרגע (t1=t2)
|
||
- t1 קדם ל t2
|
||
- t2 קדם ל t1
|
||
|
||
|
||
Μ ⊨ ( Fα & Fβ) -> (F(α & β) v F(A&Fβ)) v F(β & Fa)
|
||
|
||
|
||
|
||
אם אלפא יקרה בעתיד וביטא יקרה בעתיד, או שהם יקרו באותו הרגע, או שאלפא יקרה לפני בטא, או שבטא יקרה לפני אלפא.
|
||
|
||
|
||
### בדידות
|
||
|
||
זמן ייקרא **בדיד** (דיסקרטי) אם לכל נקודה בזמן, יש נקודה שהיא זו שקדמה לה.
|
||
|
||
כלומר, לכל t1 יש t2 כך שt2Bt1 וגם אין t3 כך ש -
|
||
t3Bt1 & t2Bt3
|
||
|
||
Μ ⊨ (α ^ Gα) -> PGα
|
||
|
||
Μ ⊨ (α & Hα) -> FHα
|
||
|
||
### צפיפות
|
||
|
||
זמן ייקרא **צפוף** אם לכל שתי נקודות t1,t2 כך ש
|
||
t1Bt2
|
||
|
||
יש t3 כך ש-t3Bt2 וגם t1Bt3
|
||
|
||
בתמצית, *בין כל שתי נקודות יש נקודה שלישית*[^3].
|
||
|
||
|
||
[^1]: מי אמר שיעור פילוסופיה ולא קיבל?
|
||
[^2]: איזה שם *מעולה* לפילוסוף שעוסק בזמן.
|
||
[^3]: [קאנט](/פילוסופיה/חדשה/קאנט) אמר את זה.
|