4.4 KiB
לוגיקה מודאלית היא לוגיקה שעוסקת במונחי האפשרות (◇) וההכרח (□) - מה שעוסקים בו במטאפיזיקה.
אריסטותלית
אריסטו מחלק את היישים והתכונות לשלוש סוגים:
- אפשרי (יכולים להיות קיימים, אבל לא קיימים כרגע)
- אקטואלי (קיימים בפועל)
- הכרחי (לא יכולים לא להיות קיימים)1
כלומר -
◇A - יכול לרדת גשם היום
□A - חייב לרדת גשם היום
A - יורד גשם היום
אפשרות והכרח עומדים ביחס - מה שהכרחי, שלילתו לא יכולה להיות אפשרית -
□A ≡ ~◇~A
ומה שאפשרי, לא ייתכן ששלילתו הכרחית -
◇A ≡ ~□~A
!!! info "" אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
הבקבוק ריק (p)
---
הבקבוק לא יכול להיות מלא.
---
זה נשמע כמו `□~q`, `~◇q`
אבל **ההכרח חל רק על הקשר!** - לא על הרישא ולא על הסיפא!
ההצרנה הנכונה היא:
□(p -> ~q)[^2]
בנוגע לתכונות, יש תכונות מהותיות ותכונות לא מהותיות, שחשוב להבדיל ביניהן. אם ניקח ממני את התכונה של יד, עדיין אהיה אני, מצער ככל שהדבר יהיה - אם ניקח ממני את התכונה של ראש, כנראה שלא.
מודרנית
לוגיקה מודאלית מודרנית מתחילה עם פסוקים. נחזור לדוגמה שלנו.
!!! info "" אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
הבקבוק ריק (p)
□(p -> ~q)
עדיין מרגיש לנו שמסתתר כאן מודוס פוננס. איך נניח הנחות חזקות יותר כדי להנביע אותו? הדוגמה עם הבקבוק מפספסת.
!!! info "" בהכרח האפיפיור רווק (P) בהכרח: אם האפיפיור רווק אז הוא לא נשוי (Q) --- בהכרח: האפיפיור לא נשוי
משמע:
□P
□(P -> ~Q)
---
□~Q
איך נגיע לזה? אקסיומה נוספת - אקסיומה K2
מערכת K
!!! info "אקסיומה K"
□ (Α -> Β) -> ( □Α -> □Β )
אם בהכרח (A אז B), אז (אם A בהכרח אז B בהכרח)
האקסיומה ניצבת בבסיס מערכת K ללוגיקה מודאלית, שלה שלושה מרכיבים:
- האקסיומות וכללי ההיסק של תחשיב הפסוקים (CL)
- אקסיומה K
- כלל ההיסק Necessitation (הכרחה?) - Α -> □Α
- מוגבל אך ורק לגזירות בלי הנחות
מערכת T
-
CL
-
K
-
Nec.
-
אקסיומה T:
□Α -> Α
מערכת D
בהקשרים אתיים, יש את מושג החובה - שהוא גם מושג של הכרח. במושג הזה, לא נכון ש□A -> A!
(יש חובה להתנהג באופן מסוים - היא הכרחית - אבל ייתכן שלא ממלאים אותה!)
בהקשרים אתיים, אנחנו צריכים אפוא חלופה לT.
□A -> ◇A
כלומר, אם חובה שA, אפשר שA.
זוהי מערכת D, מלשון דאונטית.
יש גם מובן עמוק יותר למושג החובה - שנוי במחלוקת:
□(□A -> A)
כלומר, אם יש חובה, חובה לקיים אותה.
כפילויות?
ומה נעשה עם דברים כמו:
□□A
□◇A
◇◇A
וכו' וכו'?
אנחנו רוצים לוותר על הכפילויות, בלי להגיע לאקסיומה:
A -> □A
מערכת S4
הפתרון הוא אקסיומה S4:
□A -> □□A
בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים.
- T
- אקסיומה S4.
- עובדות S4: 1. □A ≡ □□A 2. ◇A ≡ ◇◇A 3.