167 lines
4.4 KiB
Markdown
167 lines
4.4 KiB
Markdown
**לוגיקה מודאלית** היא לוגיקה שעוסקת במונחי ה**אפשרות** (◇) וה**הכרח** (□) - מה שעוסקים בו ב[מטאפיזיקה](/פילוסופיה/מטאפיזיקה).
|
||
|
||
## אריסטותלית
|
||
|
||
[אריסטו](/פילוסופיה/יוונית/אריסטו/מטאפיזיקה) מחלק את היישים והתכונות לשלוש סוגים:
|
||
|
||
- אפשרי (יכולים להיות קיימים, אבל לא קיימים כרגע)
|
||
- אקטואלי (קיימים בפועל)
|
||
- הכרחי (לא יכולים לא להיות קיימים)[^1]
|
||
|
||
כלומר -
|
||
|
||
`◇A - יכול לרדת גשם היום`
|
||
|
||
`□A - חייב לרדת גשם היום`
|
||
|
||
`A - יורד גשם היום`
|
||
|
||
|
||
אפשרות והכרח עומדים ביחס - מה שהכרחי, שלילתו לא יכולה להיות אפשרית -
|
||
|
||
`□A ≡ ~◇~A`
|
||
|
||
ומה שאפשרי, לא ייתכן ששלילתו הכרחית -
|
||
|
||
`◇A ≡ ~□~A`
|
||
|
||
|
||
!!! info ""
|
||
אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
|
||
|
||
הבקבוק ריק (p)
|
||
|
||
---
|
||
|
||
הבקבוק לא יכול להיות מלא.
|
||
|
||
---
|
||
|
||
זה נשמע כמו `□~q`, `~◇q`
|
||
|
||
אבל **ההכרח חל רק על הקשר!** - לא על הרישא ולא על הסיפא!
|
||
|
||
ההצרנה הנכונה היא:
|
||
|
||
□(p -> ~q)[^2]
|
||
|
||
|
||
בנוגע לתכונות, יש תכונות מהותיות ותכונות לא מהותיות, שחשוב להבדיל ביניהן. אם ניקח ממני את התכונה של יד, עדיין אהיה אני, מצער ככל שהדבר יהיה - אם ניקח ממני את התכונה של ראש, כנראה שלא.
|
||
|
||
## מודרנית
|
||
|
||
לוגיקה מודאלית מודרנית מתחילה עם פסוקים. נחזור לדוגמה שלנו.
|
||
|
||
!!! info ""
|
||
אם הבקבוק ריק (p) אזי הוא לא יכול להיות מלא (q)
|
||
|
||
הבקבוק ריק (p)
|
||
|
||
□(p -> ~q)
|
||
|
||
עדיין מרגיש לנו שמסתתר כאן מודוס פוננס. איך נניח הנחות חזקות יותר כדי להנביע אותו? הדוגמה עם הבקבוק מפספסת.
|
||
|
||
!!! info ""
|
||
בהכרח האפיפיור רווק (P)
|
||
בהכרח: אם האפיפיור רווק אז הוא לא נשוי (Q)
|
||
---
|
||
בהכרח: האפיפיור לא נשוי
|
||
|
||
משמע:
|
||
□P
|
||
|
||
□(P -> ~Q)
|
||
|
||
---
|
||
|
||
□~Q
|
||
|
||
|
||
איך נגיע לזה? אקסיומה נוספת - **אקסיומה K**[^3]
|
||
|
||
### מערכת K
|
||
|
||
!!! info "אקסיומה K"
|
||
|
||
□ (Α -> Β) -> ( □Α -> □Β )
|
||
|
||
אם בהכרח (A אז B), אז (אם A בהכרח אז B בהכרח)
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
|
||
האקסיומה ניצבת בבסיס **מערכת K ללוגיקה מודאלית**, שלה שלושה מרכיבים:
|
||
|
||
1. האקסיומות וכללי ההיסק של תחשיב הפסוקים (CL)
|
||
2. אקסיומה K
|
||
3. כלל ההיסק Necessitation (*הכרחה?*) - Α -\> □Α
|
||
- מוגבל **אך ורק לגזירות בלי הנחות**
|
||
|
||
### מערכת T
|
||
|
||
1. CL
|
||
2. K
|
||
3. Nec.
|
||
4. אקסיומה T:
|
||
|
||
□Α -> Α
|
||
|
||
|
||
### מערכת D
|
||
|
||
בהקשרים אתיים, יש את **מושג החובה** - שהוא גם מושג של *הכרח*. במושג הזה, *לא נכון* ש□A -> A!
|
||
|
||
(יש חובה להתנהג באופן מסוים - היא הכרחית - אבל ייתכן שלא ממלאים אותה!)
|
||
|
||
|
||
בהקשרים אתיים, אנחנו צריכים אפוא חלופה לT.
|
||
|
||
□A -> ◇A
|
||
|
||
כלומר, **אם חובה שA, *אפשר* שA**.
|
||
|
||
זוהי מערכת D, מלשון *דאונטית*.
|
||
|
||
יש גם מובן עמוק יותר למושג החובה - שנוי במחלוקת:
|
||
|
||
□(□A -> A)
|
||
|
||
כלומר, אם יש חובה, חובה לקיים אותה.
|
||
|
||
|
||
### כפילויות?
|
||
|
||
ומה נעשה עם דברים כמו:
|
||
|
||
□□A
|
||
|
||
□◇A
|
||
|
||
◇◇A
|
||
|
||
וכו' וכו'?
|
||
|
||
אנחנו רוצים לוותר על הכפילויות, **בלי להגיע** לאקסיומה:
|
||
|
||
A -> □A
|
||
#### מערכת S4
|
||
|
||
הפתרון הוא **אקסיומה S4**:
|
||
|
||
□A -> □□A
|
||
בהכרח A ובהכרח בהכרח A שקולים.
|
||
|
||
1. T
|
||
2. אקסיומה S4.
|
||
3. עובדות S4:
|
||
1. □A ≡ □□A
|
||
2. ◇A ≡ ◇◇A
|
||
3.
|
||
|
||
[^1]: לפי אריסטו, יש רק דבר אחד כזה, והוא האל.
|
||
[^2]: זהו כשל לוגי נפוץ אצלנו - אנחנו נוטים לחשוב על משפטי תנאי (אם ככה אז ככה) כהכרחיים, כמו בהצרנה הזו - כשלמעשה יש הרבה מקרים שיש תנאי בלי ההכרח (A -> B) ולא □(A -> B).
|
||
[^3]: על שם קריפקי.
|
||
|
||
|