4.5 KiB
title, tags
| title | tags | |||||
|---|---|---|---|---|---|---|
| לוגיקה אינטואיציוניסטית |
|
לויצן אגברטוס יאן "ברטוס" בראוור (1881-1966) שאל את עצמו האם בפיתוח העשרוני של π יש מופע של 9 פעמים הספרה 9 (...1234999999999...). איך בודקים? נניח וכל פעם נפתח קצת את π ונבחון כל קטע סופי נתון. אם מצאנו - נפלא. ואם לא מצאנו? נוכל רק להגיד שעד עכשיו לא היה - לא נוכל להגיד שיש או שאין קטע כזה.
אנחנו יצורים סופיים, ויכולים לפתח רק חלק סופי. אבל האם יש בכלל פיתוח אינסופי כזה, שפשוט אנחנו לא מגיעים אליו? יכול להיות שאין דבר כזה - לא נוכל לדעת עד שפיתחנו הכל. אבל אם אנחנו לא יודעים שיש מקטע כזה, אולי אנחנו לא יכולים לטעון בכלל שיש או אין מקטע של תשע תשיעיות: אין על מה לטעון בכלל.
העמדה הזו היא קונסטרוקטיביזם -
!!! is-info "הגדרה" קונסטרוקטיביזם היא התזה שאומרת שישים (אובייקטים) מתמטיים הם פרי הבניה שלנו, כך שכל מספר Αv~A (רציונליים או לא רציונליים)
בכל פעם שמפתחים את π, הπ המפותח עד הסוף הוא זה שפיתחנו - אין לי טענה שיש אחד אינסופי כלשהו; והיות ולעולם לא נפתח את π עד הסוף, אני לא יכול לטעון כלום לגבי קיום או אי קיום הקטע: הדבר שלגביו אני טוען עדיין מתהווה, ולעולם עדיין יתהווה.
!!! is-info "טענה"
יש שני מספרים לא-רציונליים a, b כך ש - a^b רציונלי
הוכחה:
נתבונן ב \sqrt{2} ^\sqrt{2}. אם הוא רציונלי, סיימנו. אחרת נקבל:
(\sqrt{2}^\sqrt{2})^\sqrt{2} = \sqrt{2} (\sqrt{2} \times \sqrt{2}) = 2
אבל כך יוצא שההוכחה עומדת, ואנחנו לא יודעים מהם המספרים! (מה זה שורש 2?)
!!! success "ראו גם" הקטע הבא נשען על הפילוסופיה של קאנט. ראו גם:
[קאנט (מבוא לפילוסופיה חדשה)](/פילוסופיה/חדשה/קאנט), [קאנט - ביקורת התבונה הטהורה (קורס מתקדם)](/פילוסופיה/חדשה/קאנט/טהורה).
בראוור נשען על מושג האינטואיציה הקנטיאני. התפיסה הרציונליסטית מחלקת את המושגים למושגים מאוד מורכבים - אלוהים ומספרים - ולנתוני חושים. קאנט רוצה לשבור את הטווח הזה, ומחלק אותו במקום לאינטואיציה ומושג.
מושג הוא תמיד כללי (כיסא, לא הכיסא הזה), ולפי קאנט היא תמיד מתווכחת - קרי, המושג הוא לא רק נתוני חושים, אלא גם ארגון שלהם לפי המושגיות.
האינטואיציה, מנגד, היא מידית, וללא תיווך - אלו הם החלל והזמן. הם לא מושגים - הם התנאים לכינון מושגים. המתמטיקה כולה נשענת על הזמן.
תלמידו של בראוואר, הייטינג, פיתח מהקושי הזה את מערכת הלוגיקה האינטנטיאוניסטית -
לוגיקה אינטואיציוניסטית פשוטה בהרבה - כללי ההיסק שלה מאוד פשוטים - אבל חזקה פחות מלוגיקה קלאסית. אלא שכדי "להמיר" לוגיקה אינטאיציוניסטית לקלאסית, אנחנו נדרשים לכללי היסק נוספים מוזרים, לא אינטואיטיבים.
לכן גדל, גנצן ואחרים בנו פונקציית תרגום מלוגיקה קלאסית לאינטואיציוניסטית:
- כל טיעון תקף אינטואיציוניסטית תקף קלאסית
- מצד שני, נסתכל על פונקציית התרגום הבאה g:
g(p) = ~~p
g(A v B) = ~(~g(A) ^ ~g(B))
g(A -> B) = g(A) -